外接円半径を求める！（正弦定理使用不可）

質問

個別指導塾で講師をしている大学生です。
先日中学３年生向けのややむずかしめのテキストを解いていて
恥ずかしながらどう解いていいかわからない問題がありました(T T)

問：辺の長さがそれぞれ３，５，７の鈍角三角形がある。
　　この三角形の外接円の半径を求めよ。

私が普通に解くんであれば正弦定理でどうにかなりますが
中学生用ですので使用不可です。
模範解答は三角形をAB=7 BC=3 CA=5の△ABCとすると
ＣからABに垂線を下ろしその足をHとする。そしてCHの長さを出す。
そのあと弦BCと外接円の中心と円周上の一点(Dとする)を通る三角形を考えると(即ち△DBC）
△DBCと△ACHが相似、ということで外接円半径を求めていました。
しかし正直な話、この解答はどういう発想で出てきたものか見当が付きません。
もう少し自然な解答はないでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.3

mister_moonlight · ベストアンサー

＞もう少し自然な解答はないでしょうか。

図形を扱う場合は、慣れやひらめきは必要です。
従って、その回答は決して不自然とは思いません。
ひとつの定石と思ってよいと思います。

＞多少泥臭い解法でもかまいません。

座標を使えば、計算は面倒ですが答えは出ます。2点間の距離の公式さえ理解していれば、ですが。。。
中学3年ですと、習ってないのでしょうか？

Ａ(a、b)、Ｂ(0、0)、Ｃ(7,0)　a＞0、b＞0とし、外接円の中心をＰ(α、β)、外接円の半径をＲとする。
ＡＢ＝3、ＡＣ＝5、Ｒ＝ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ。
これらを連立すれば出ます。

他に、方法があるかも知れませんが。。。。。

お礼

やはり定石として知っておくべきですか。
座標は確かにやれば出来そうですね。ただ中３にはやや斬新かもしれません。
（まだ座標と幾何をばらばらに習ってる状態です）
いずれにせよ、ありがとうございました！

回答No.2

oyaoya65

１）相似形△形を作る
⇔2角を等しい三角形を作る
⇔∠AHC＝∠DCB＝90°，∠CAH＝∠BDC(弦BCを共通にする円周角)
２）∠DCB＝90°を円周角とする弦は外接円の直径
この２つを利用するためCから辺ABに垂線CHを下ろしたわけですね。
直角三角形にはピタゴラスの定理を使ってAH=X,BH=7-Xとおいて見かけ上Xの2次式ですが実はX^2項が消えて1次式の簡単な方程式からAHが求められる。

といった発想ですね。
1)と2)をうまく組合せ、ピタゴラスの3平方の定理も使わせる複合問題としていますね。

お礼

No.1のかたとNo.2のかたとでまとめて返信させていただきます。
ちなみに僕は高校受験の経験はありません。（エスカレーターで行ってしまった）

この解法の仕組みはわかるのです。正直解答見たときは「あぁなるほど、確かにこうやれば出来るわな！でもこれ暗記してないと無理じゃね!?」と思いました。
つまり試験中にこれを自力で編み出すのはそれなりのセンスが必要でないかと思うのです。

確かに数学の場合、最低限覚えていけないパターンがあるのは確かなのですが
この問題、もう少し、普通の中学生でも思いつくような自然な解法はないものだろうか、と思っていたのです。
多少泥臭い解法でもかまいません。
鮮やかな解法というものは時に一般性を失うものです。
引き続き返信募集します。

回答No.1

anapaultole

はい、これは円周角の問題の応用としてしばしば出題だれる例です。高校で正弦定理・余弦定理の証明方法を見てみてください。

弧ＢＣ上の円周角である角BCDと角CABが等しく、角CHAが90度で、中心を通る線分CDにより弧CADに立つ角CDBが90度になるところがみそです。

是非、その中学生に色々な円周角の問題を解かせてみて、どのような補助線を引けば解決するのかを体得させてください。