【問題】

質問

【問題】
１．不等式の証明をせよ。
(1)(cos(x))^2+2cos(x)≧3-2x^2

2回微分して、f''(x)≧0だとうことはわかりました。
そこからがわからないんですけど…。。。

x>0という範囲があれば解けるのですが…
解き方を教えてくださいｗｗｗ

よろしくお願いします。。。

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

#1です。

＞遇関数だとｙ軸に対象なグラフ??図形に＞なるのでｘ＞０のときも言えたらｘ＜０＞のときも言えるのですか??
そのとおりです。
線対称ということです。

1) 2階微分を使って示すか
（もともと書かれていた方針）

2) とりうる値の範囲から考える値域を限定して示すか
（先の回答の後半部分のことで、この場合は 1階微分でOK）

おおむねこんな感じだと思います。(^_^;)

お礼

ありがとうございましたｗ

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

＞x>0という範囲があれば解けるのですが…
書かれている不等式の両辺ともに偶関数ですね。
ということは、x＞ 0で示されれば、x＜ 0でも成り立つはずです。

＞2回微分して、f ''(x)≧0だとうことはわかりました。
いいところまできてますよ。
2階微分：f ''(x)は、1階微分：f '(x)の増減を表しますね。f '(0)= 0と合わせると、f '(x)についてどのような不等式が言えますか？
同じようなことを f '(x)と f(x)にも言えば、不等式を証明できますよ。＾＾

グラフを考えると、次のようなことも言えます。
・0≦ (cos(x))^2≦ 1、-1≦ cos(x)≦ 1より、左辺の値の取りうる（と考えられる）範囲は、
-1≦ (左辺)≦ 3となります。
少なくとも、x= 0のとき (左辺)= 3です。

・右辺は「上に凸」の 2次関数ですから、最大値は 3(x= 0)、x=±2で (右辺)= -1となり、
これより絶対値が大きくなると確実に (左辺)＞ (右辺)となります。

これらのことから、0≦ x≦ π（2よりも大きい値でわかりやすいところ）で、
不等式が示されればいいなあと考えられます。
※あくまでも 2階微分で証明するのがスジですね。

お礼

ありがとうございました！

補足

質問です＾＾；
初歩的な質問ですみませんが…
遇関数だとｙ軸に対象なグラフ??図形になるのでｘ＞０のときも言えたらｘ＜０のときも言えるのですか??