合成関数を２回偏微分するやり方？がわかりません；；

質問

y＝r　*　sinθ
x＝r　*　cosθ
とすると

合成関数の偏微分法から

∂f/∂r＝cosθ*（∂f/∂x）　＋　sinθ*（∂f/∂y）
となります。

もう一回微分して
∂^2f/∂r^2= cos^2θ*（∂^2f/∂x^2）　＋　sin^2θ*　（∂^2f/∂y^2）＋　2sinθcosθ(∂^2f/∂x∂y)

になります。　なんで　２回微分したときに　cos^2θ　とか　sin^2θ　とか出てくるんですか？　

よくわからないので　くわしくおしえてほしいです；；

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

∂f/∂r=cosθ*（∂f/∂x)＋sinθ*（∂f/∂y）

∂/∂r(∂f/∂r)
=∂/∂r{cosθ*（∂f/∂x)} + ∂/∂r{sinθ*（∂f/∂y)}
=cosθ*∂/∂r(∂f/∂x) + sinθ*∂/∂r(∂f/∂y)
=cosθ*{(∂^2f/∂x^2)(∂x/∂r)+(∂^2f/∂x∂y)(∂y/∂r)}
+sinθ*{(∂^2f/∂x∂y)(∂x/∂r)+∂^2f/∂y^2)(∂y/∂r)}
=cosθ*{(∂^2f/∂x^2)cosθ+(∂^2f/∂x∂y)sinθ}
+sinθ*{(∂^2f/∂x∂y)cosθ+∂^2f/∂y^2)sinθ}
=cos^2θ*(∂^2f/∂x^2)+(∂^2f/∂x∂y)cosθsinθ
+sinθ*cosθ(∂^2f/∂x∂y)+sin^2θ*(∂^2f/∂y^2)
=cos^2θ*(∂^2f/∂x^2)+sin^2θ*(∂^2f/∂y^2)+2cosθsinθ(∂^2f/∂x∂y)

となるので
>２回微分したときに　cos^2θ　とか　sin^2θ　とか出てくる
というわけです。

回答No.1

Tacosan

うん? 1階微分が
∂f/∂r＝cosθ*（∂f/∂x）　＋　sinθ*（∂f/∂y）
となることを理解しているなら「2階微分で cos^2θ　とか　sin^2θ とかが出てくる理由がわからない」ということはありえないはずなんだけど....

なんで 1階微分で cos θ や sin θ が出てくるんですか?