ライプニッツの公式を用いる問題がわかりません

質問

教えていただきたいです。お願いします。

f(x)=Sin^-1とおく。
1.(1-x^2)f"(x)-xf'(x)を計算せよ。

2.1で求めた結果の等式の両辺をｎ回微分したのちx=0とすることによって、f^(n+2)(0)とf^(0)との間に成立する関係を答えよ。

3.f^(n)(0)を求めよ。

回答No.3

R_Earl

自力でどこまでやったかを書かないと、質問自体が削除されます。
(2)のヒントだけ書きます。

> 1で求めた結果の等式の両辺をｎ回微分したのちx=0とすることによって、f^(n+2)(0)とf^(0)との間に成立する関係を答えよ。

(1 - x^2)f"(x)とxf'(x)に分けて、それぞれにライプニッツの公式を適用すれば良いんです。

(1 - x^2)f"(x)にライプニッツの公式を適用した場合、
(1 - x^2)を3回微分したら0になるので、(1 - x^2)を3回以上微分した項は全部消えます。
同様の理由で、xf'(x)はxを2回以上微分した項は全部消えます。

つまりライプニッツの公式のうち、(1 - x^2)f"(x)は
g(x) = 1 - x^2、h(x) = f''(x)とおいた時

Σ nCk{ g^(k)(x) }{ h^(n-k)(x) } 　（k = 0 ～ 2）

xf'(x)は、g(x) = x、h(x) = f'(x)とおいた時

Σ nCk{ g^(k)(x) }{ h^(n-k)(x) } 　（k = 0 ～ 1）

だけを計算すれば良いことになります。

回答No.2

info22

ヒント）だけ

１．
y=f(x)=Sin^-1(x)
とおくと
x=sin(y)
xで微分
1=y'cos(y)　→ y'=f'(x)=1/cos(y)=1/cos(Sin^-1(x))=1/√(1-x^2)
更にxで微分
0=y''cos(y)-(y')^2*sin(y)
→ y''=f''(x)=(y')^2*tan(y)={1/(1-x^2)}{x/√(1-x^2)}=x/(1-x^2)^(3/2)

これで１は代入すれば「＝０」が出きますね。

２.
１．の結果から
f'(0)=1,f''(0)=0
(1-x^2)f"(x)-xf'(x)=0
xで微分
f'''(x)(1-x^2)-3xf"(x)-f'(x)=0 →f'''(0)=f'(0)=1
xで微分
f^(4)(x)(1-x^2)-5xf'''(x)-4f''(x)=0 →f^(4)(0)=4f''(0)=0
xで微分
f^(5)(x)(1-x^2)-7xf^(4)(x)-9f'''(x)=0 →f^(5)(0)=9f'''(0)=9f'(0)
xで微分
f^(6)(x)(1-x^2)-9xf^(5)(x)-16f^(4)(x)=0 →f^(6)(0)=16f^(4)(0)=0
後はこれを繰り返す。
f^(7)(0)=25f^(5)(0)=25*9f'(0)
f^(8)(0)=0
f^(9)(0)=36f'(7)(0)=49*25*9f'(0)
=7^2*5^2*3^2f'(0)

f^(n+2)(0)=0 (n:偶数,n≧0)

f^(n+2)(0)=n^2*...*7^2*5^2*3^2*f'(0)(n:奇数,n≧1)

３．
f'(0)=1を代入しnを変更
f^(n)(0)=0(n=2m,m≧1)
f^(n)(0)={(2m-1)(2m-3)*...*3)}^2 ={(n-2)!!}^2 ((n=2m+1,m≧1)

最後まできてしまったね…。

回答No.1

Tacosan

f'(x) とか f''(x) を計算すればいいだけじゃないのか?