微分の応用問題

質問

αは0°＜α＜45°の範囲の角度を表す定数とする。-1≦x≦1 の範囲で、
関数f(x)=|x-cos2α|^3+|x+1|^3+|x-1|^3
が最小値を取る時の変数xの値をcosαで表せ。

という問題で、xの範囲より
f(x)=|x-cos2α|^3+6x^2+2

0＜cos2α＜1　であるから、絶対値をはずして
={ (x-cos2α)^3+6x^2+2　（cos2α≦x　の時）　・・・(1)
{-(x-cos2α)^3+6x^2+2　（x≦cos2α　の時）　・・・(2)

とします。

(1)の場合、
f'(x)=3(x-cos2α)^2+12x＞0　（∵　x≧cos2α＞0）

(2)の場合、
f'(x)=-3(x-cos2α)^2+12x

この時点まで解答できたのですが、質問は

なぜ(1)の場合がいけないのか
f(x)の微分が正⇒増加し続ける　となるので

　 _／
／
この様なグラフ(y=x^3に近い形)になり、左端が最小値ということにならないのでしょうか？

また、
(2)からf(x)が最小となる時のxの値が出ないのですが
わかる方いましたら宜しくお願いします。

回答No.1

looker1986 · ベストアンサー

まず、前半から。
確かに、(1)の左端、すなわち x=cos2αとなる点は最小値の「候補」です。
しかし、この問題の場合、それより左に(2)があり、そちらのほうがより小さい値をとります。
ですから、 x=cos2αは最小値をとる点ではないのです。
問われているのは -1≦x≦1 の範囲で最小値をとる点ですから。

後半については(2)の式が = 0 となる２次方程式を解けば答えがでます。
途中でルートの中身を出すのに半角の公式を使います。
また、f'(x) =0 となる解は２つありますが、(2)のように３次の係数が負である３次関数は
f'(x) =0 の２つの解のうち小さいほうで極小値をとります。（グラフから明らか）

また、増減表を描けばわかりますが、この範囲では(2)の極小値＝最小値になっているので、
これが答えになります。

お礼

回答ありがとうございます。

確かに(1)の最小値の続きに(2)が続いていますね。
(2)はf'(x)=0の解の小さい方

x=cos2α+2-√(cos2α+1)

を計算して出てきました。
(2)の解を出す時に勘違いしていたみたいです。
ありがとうございました。