座標平面

質問

Pはx軸上の点でx座標が正、Qはy軸上の点でy座標が正、PQは円x^2+y^2=1に接する。a,bを正の定数とするときaOP^2+bOQ^2の最小値をa,bで表せ。

という問題で接点（p,q）とおいて接線px+qx=1、p^2+q^2=1,0<p<1かつ0<q<1,P(1/p,0)Q(0,1/q)として
aOP^2+bOQ^2=a/p^2+b/q^2
=a/p^2+b/(1-p^2)
>=2√(ab/｛p^2(1-p^2)｝)
からp^2=1/2のとき最小値4√abとしたのですが答えが合いません…。
略解を見るとP,Qの座標を文字で置いてあり、その解法は理解できたのですがなぜ上記の答えが合わないのですか？どなたか教えてください…。

回答No.7

mister_moonlight · ベストアンサー

色んな解法がありますが、意外と初歩的な解も簡単です。

x軸とy軸とで交わるから、接線はy＝mx＋n　(m≠0)と置ける。
これと、円x^2+y^2＝1とが接するから、x^2＋(mx＋n)＾2＝1が重解を持つ。
(1+m＾2)x＾2＋2mnx+(n＾2-1)＝0の判別式＝0より、n＾2＝1+m＾2。
y＝0より　Ｐ(-n/m、0)、x＝0より　Ｑ(0、n)。条件より、n＞0、m＜0。
aＯＰ＾2＋bＯＱ＾2＝a(-n/m)＾2＋b(n)＾2＝(n)＾2(a/m＾2＋b)＝(1+m＾2)(a/m＾2＋b)＝bm＾2＋a/m＾2＋(a＋b)。
m＾2＞0より、相加平均相乗平均を使って、bm＾2＋a/m＾2＋(a＋b)≧2√ab＋(a＋b)＝(√a＋√b)＾2。
等号成立は、m＾2＝√a/√b、即ち、m＝-√(√a/√b)。

お礼

回答ありがとうございます。
判別式はわたしもとてもよく使うので、すっきり理解できました。

回答No.6

eatern27

#5です。あ、よく見ると何か違うんですね^^;　勘違いしていました。

＞=a/p^2+b/(1-p^2)
＞>=2√(ab/｛p^2(1-p^2)｝)
が成り立つというのも正しいし、p^2=1/2の時に2√(ab/｛p^2(1-p^2)｝)が最小になる事も間違いありません。

でも、この時
＞=a/p^2+b/(1-p^2)
＞>=2√(ab/｛p^2(1-p^2)｝)
の等号が成り立つわけではないので、a/p^2+b/(1-p^2)が最小になるかどうかは分からないんですね。実際、今の場合は最小になっていない訳です。

お礼

うん、はい、すみません…。全身全霊かけて気をつけます。
ありがとうございました。

回答No.5

eatern27

＞=a/p^2+b/(1-p^2)
＞>=2√(ab/｛p^2(1-p^2)｝)
が成り立つというのは正しいです。そして、等号が成り立つのは、p^2=1/2の時だというのも正しいです。
でも、だからといって、「p^2=1/2の時にa/p^2+b/(1-p^2)が最小になる」わけではないのです。

相加相乗平均関連でよくやる間違いですね。最小になるからと言って、等号が成り立つとは限らないのです。例えば、
x^2≧2x-1
が任意のxで成り立ちます。そして、等号が成り立つのは、x=1の時です。
でも、だからといって、左辺はx=1の時に最小値をとるわけではなく、x=0で最小になります。

相加相乗平均で、最小値を求めようとする場合、
a+b≧2√(ab)＝定数
の形になるように上手く工夫するはずです(あるいは、左辺が定数でもいい)。右辺が定数だからa+bがその定数を下回る、ということはありえません。だから、等号が成り立つ場合があるのなら、そこが最小値になるわけです。
√abが定数でなかったらそういう事にはならないんですね。

※ちなみに、コーシー-シュワルツの不等式を使えば、あっという間に解けるかと。

お礼

回答ありがとうございます。x^2≧2x-1の例は未来永劫心に刻みます。相加相乗、もう間違えないようにしたいです。負けません。勝ちます。何に？自分に。うん、ありがとうございました。

コーシー=シュワルツは思い出そうとすると忘れるというマジカル式です。ホゲ。

回答No.4

take_5

Ｐ(α、0)、Ｑ(0、β)　α＞0、β＞0とする。
直線ＰＱは　βx＋αy＝αβであり、この直線と原点Ｏとの距離が1であるから、｜αβ｜＝√(α＾2＋β＾2)　従って(αβ)＾2＝α＾2＋β＾2　‥‥(1)
Ｌ＝a*ＯＰ＾2＋b*ＯＱ＾2＝a*α＾2＋b*β＾2である。
α＾2＝tとすると、(1)よりt＞1.
Ｌ＝a*α＾2＋b*β＾2＝at＋bt/(t-1)＝a(t-1)＋a＋{b＋b/(t-1)}＝a(t-1)＋b/(t-1)＋(a＋b)。
t＞1より、相加平均・相乗平均を使うと、
a(t-1)＋b/(t-1)＋(a＋b)≧2√ab＋(a＋b)＝(√a＋√b)＾2。
等号成立は、a(t-1)＝b/(t-1)、つまりt＝(√a＋√b)/√aのとき。

お礼

相加相乗平均にもちこむための式変形も苦手なのですよ、ね…。ちまちまトレーニングしたいです。
回答、ありがとうございました。

回答No.3

YHU00444

ANo.2さんの回答にはケアレスミスがありまして、まず、f'(θ) = 2cosθ(atan^4θ - b)/sin^3θなので（aとbが逆）、au^2=bv^2なんです。で、これをuについての2次方程式として解いてやると、(a-b)u^2+2bu-b=0よりu={-b±√(ab)}/(a-b)ですが、このうち符号が負の方はuの条件より排除されるので（だってu=sin^2tだから、0<u<1）u={-b+√(ab)}/(a-b)で、整理してu=√b/(√a+√b)。あとはu,vを代入したら答えは出ます（その程度の検算は自分でやりましょう）。

※ところで、略解では何を使って答えを導出しているのでしょう？
（解き方が理解できたのなら）この質問には答えられると思いますので、ざっとで良いので説明してみてください。

お礼

回答ありがとうございます。
略解はP,Qを座標(p,0)(0,q)で置く→直線PQが円に接することからp,qの式、q消去→aOP^2+bOQ^2に代入しpについて相加相乗平均をとるという形で、#4さんの解答と同じです。

回答No.2

noname#48504

こんばんは。

本問題は質問者さんの仰る解法で解くものではないようです。

私が計算した所、接点をT（cosθ、sinθ）とすれば、
（勿論、0＜θ＜π/2）
f(θ) = a/cos^2θ + b/sin^2θ として、θで微分すると、
f'(θ) = 2cosθ(btan^4θ - a)/sin^3θ
となり、これを満たすθは前述の範囲で唯一つで、そのθを改め t
とし、u = sin^ 2 t , v = cos^2 t とすると、
u + v = 1（三角関数の公式より） , bu^2 - av^2 = 0（t の条件）
これを連立してとけば、以下の解になると思います。

(i) a = b のとき、2(a + b)
(ii) a≠b のとき、(√a - √b)^2

異議・質問があればまたご質問下さい。

補足

回答、ありがとうございます。しかし本当に申し訳ないことに、文系なのでθなどの微分がわからないのです…。
そして答えが(√a+√b)^2だったのですが…どうしてでしょう？

回答No.1

YHU00444

相加相乗平均を使うアイデアは悪くないと思いますが、何か途中から盛大に計算を間違ってません？

いまざっと計算したところでは、a/p^2+b/(1-p^2)>=2[(a/p^2)*{b/(1-p^2)}]^(1/2)の等号が成立するのは、a/p^2=b/(1-p^2)のときだから、すなわちp^2=a/(a+b)で、最小値は2(a+b)となるように見えます。（検算してないので自信なし）

補足

ま、間違えてました…。すみません。えっと、計算し直して確かにわたしも最小値2(a+b)が出たのですが答えは(√a+√b)^2になっています。
なんてこった。
お考えがありましたらば、お伺いしたいです…。