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exp(1/z)の原点のまわりでローラン展開についての疑問
- exp(1/z) の原点のまわりでローラン展開について疑問があります。
- exp(1/z) をマクローリン展開する際、z の代わりに 1/z を入れて展開できるという説明がありますが、腑に落ちません。
- テイラー展開は円板状の領域内で使えるものであり、無限遠点まわりでの展開はできません。1/z=u とおき直す作戦も上手くいかないか悩んでいます。
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よい点に気づかれたと思います。 ローラン展開といっても、極を中心とする展開ならば、 テイラー展開とあまり変わりがありませんが、 真性特異点を中心とするものは難しいことが多く、 関数によっては、どうやって展開したらよいか 解らないこともあります。 今回の問題で exp u のマクローリン展開に u = 1/z を代入してよい理由は、 exp のマクローリン展開が収束半径 ∞ を持つからで、 そのために、z がどれだけ 0 に近づいても exp u の級数表示が意味を持っているからです。
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- info22_
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> exp(1/z)=1+1/(1!z)+1/(2!z^2)+1/(3!z^3)+ … これが疑問なら、右辺を7項位で近似して z=1, i, 1+i, 2 など代入してみてほぼ等しいか確認してみれば、正しいか確認できると思います。 当方でローラン展開が正しいか確認して見ました。 z=1の場合 左辺=e=2.718282,右辺≒2.718254 z=iの場合 左辺=e^(-i)=cos(1)-isin(1)=0.54030+i0.841471, 右辺≒0.54028+i0.841468 z=2の場合 左辺=e^(1/2)=1.6487213,右辺≒1.6487212 z=1+iの場合 左辺=e^((1-i)/2)=e^(1/2)(cos(1/2)-isin(1/2))=1.4468890-i0.7904391, 右辺≒1.4468874-i0.79043899 などほとんど一致しているのでローラン展開がz=0(特異点)以外で正しいことが確認できます。 質問者さん自身でも計算して確かめてみてください。
お礼
お礼が遅れてしまって申し訳ありません。言い訳になってしまいますが、パソコンのトラブルでSSLページにアクセスできなくなっていました。 取り敢えず、この結果が正しい近似だということの確認はできました。ありがとうございました。
お礼
お礼が遅れてしまって申し訳ありません。言い訳になってしまいますが、パソコンのトラブルでSSLページにアクセスできなくなっていました。 u平面上どこでも、exp(u)の級数表示が意味を持っているというのは納得できました。 結局、「〇〇のまわりでの」展開というのは形だけの問題だ、と思ってもいいのでしょうか。最終的な形が、(z-a)のベキに展開できていれば、導出過程は問題にはならないのですね。確かにそもそも、係数を積分で求めずに済むように、というのが狙いなのだから考えてみれば当たり前のことだったかもしれません。 ローラン展開、これで何とか使えるようになりそうです。ありがとうございました。