偏微分方程式 （変数分離法）

質問

変数分離法を用いて、偏微分方程式　∂u/∂t + u*∂u/∂x = 0
u(x,t)の特解を求めよ。

この問題を解ける方は、解法を教えていただきたいです。

回答No.2

rnakamra · ベストアンサー

#1の補足に対して。

そのようにして解を求めると
X(x)=cx+α1
T(t)=1/(ct+α2)
となり、
u(x,t)=cx+α1/(ct+α2)
が最終的な答えになりますが、合っているんでしょうか。

OK.
実際に微分方程式に代入して計算すれば簡単に確認できます。

お礼

任意定数の数が多かったので、不安に思っていました。

回答ありがとうございました。おかげで理解することができました。

回答No.1

rnakamra

u(x,t)=X(x)T(t)
とおく。
∂u/∂t=X(x)dT(t)/dt,∂u/∂x=T(t)dX(x)/dx
となるので代入すると

X(x)dT(t)/dt+X(x){T(t)}^2*dX(x)/dx=0
dT(t)/dt=-{T(t)}^2*dX(x)/dx

両辺を{T(t)}^2で割ると
[1/{T(t)}^2]dT(t)/dt=-dX(x)/dx (1)

(1)式の左辺はtだけの式であり右辺はxだけの式である。これが恒等的に成り立つためには定数でなければなりません。これをcとでもおくと、X(x),T(t)についての常微分方程式が得られます。

補足

回答ありがとうございます。

そのようにして解を求めると
X(x)=cx+α1
T(t)=1/(ct+α2)
となり、
u(x,t)=cx+α1/(ct+α2)
が最終的な答えになりますが、合っているんでしょうか。