微分方程式

質問

解き方がわからない問題につきあたりました。
意外と簡単に見えるのですが。
教えて頂けませんでしょうか。

一般解と特殊解を求めよ。

ｘ’＝ｔ/ｘ

回答No.3

noname#24477 · ベストアンサー

テキストを使っているのなら
最初はほとんど変数分離形について書いてあるかと
思います。

ｘがｔの関数であるとき
dx/dt＝(ｘの式)(ｔの式)　の形になっているものを
変数分離形の微分方程式といいます。
文字式で書くと
dx/dt＝f(x)g(t)　この場合f(x)≡０で無ければ
f(x)で割って
1/f(x)dx＝g(t)dt　として積分すればよい。
またf(x)＝０にするものがあれば、それが特殊解です。

この問題ではf(x)＝1/x　で０にはなりませんから
特殊解はなしで、一般解は
∫xdx＝∫tdt　の解
1/2x^2＝1/2t^2＋ｃ
x^2＝t^2＋Ｃ
x=±(t^2＋Ｃ)^(1/2)
ｘ＝に解かないでx^2＝の式のまま答にしても良いと思う。

お礼

ご回答ありがとうございます。
＞dx/dt＝f(x)g(t)　この場合f(x)≡０で無ければ
＞f(x)で割って
＞1/f(x)dx＝g(t)dt　として積分すればよい。
この部分がすごくわかりやすかったです。

回答No.2

qntmphscs

初期条件がない微分方程式の場合、その解は積分定数を含むので無数の解が存在することになります。そこで積分定数を含む解を一般解とよびます。

初期条件に合うように積分定数の値を定めたものや、初期条件がない場合に積分定数を適当に決めたものを特殊解とよびます。

特に理由がなければC=0を選べばいいでしょう。
例えばdx/dt=t/xであればx=tが特殊解の一つです。

x=0ではそもそも微分方程式を立てる意味がありません。

お礼

ご回答ありがとうございます。
x=0のときを考えて、t=∞がどうとか考えていました。

回答No.1

bilateraria165

x'というのはdx/dtのことでしょうか？それならば。

dx/dt=t/x → xdx=tdt

とおいて積分してできないでしょうか？
特殊解というのがx=0のときだとすれば…

間違えてたらすみません。

お礼

ご回答ありがとうございます。

dx/dt=t/x → xdx=tdt
として積分するのはわかりました。
(1/2)x^2=(1/2)t^2+C
x=(t^2+C)^(1/2)
となりますよね。

特殊解でx=0のときどうなるかがよくわからないです。