Clairauntの微分方程式

質問

y = xp + √(a+p^2)　という問題で、
一般解は y = cx + √(a+c^2)　（c：任意定数）と求まりました。

しかし、特異解が合っているのか不安で、投稿しました。
私は　y = √(1-x^2)と求まったのですが合っていますでしょうか。

計算途中で p = ±x/√(1-x^2)と出て、プラスとマイナスのどちらを使うかで迷ってしまいました。
x + p/√(1+p^2) = 0 より、√(1+p^2) = -p/x
左辺がプラスなのでpを代入してプラスにならなければおかしい?と思ったので、マイナスのほうだけを採用しました。

この場合、マイナスのほうだけを採用して、正しいのでしょうか。
また、違う解法、より分かりやすい解法がありましたら、教えていただけないでしょうか。

回答No.1

endlessriver

p = ±x/√(1-x^2)のプラスとマイナスのどちらも必要なので両辺を二乗すればマイナスで悩む必要はありません（-p/xの符号についてはx>0ならp<0,x<0ならp>0を意味している）。
なお、a=1以外のときの特殊解は(y^2)/a+x^2=1です。a=0のときには特殊解はない。

お礼

ありがとうございました。
まだよくわからないので、もう一度質問します＾＾；

補足

ご回答ありがとうございます。

なぜ両方必要なのでしょうか。
「左辺がプラスなのでpを代入してプラスにならなければ・・・」というのは間違っているのでしょうか。

p = ±x/√(1-x^2)　を両辺2乗して、p^2 = (x^2)/(1-x^2)とします。
それを与式に代入したいのですが、pの部分を代入する際に、どうすればよいのかわかりません。