図形問題について

質問

添付資料ですが、教えていただきたいことがあります。
問題
添付図でACとBDは円Oの直径であり、点Eは∠ACDの二等分線と円Oの交点である。線分ADとBEとの交点をF、線分ADとCEとの交点をGとする。
ΔACG∽ΔEAFがいえるものとする。
（ア）CGの長さを求めなさい
（イ）EFの長さを求めなさい
答えは（ア）３√５、（イ）√５
ということですが、いかにして求めたらよいのでしょう？
高校入試の過去問を解いていて解説が無い為悩んでいます。教えていただけないでしょうか？
作成した図が下手ですが、線分BDは円の中心Oを交わっています。

回答No.3

debut · ベストアンサー

No2です。
やはりそうでしたか。
△ＡＣ Ｄで三平方の定理から、ＡＤ^2＝64→ＡＤ＝８
角の二等分線の性質（ＡＣ：Ｃ Ｄ＝ＡＧ：ＤＧ＝５：３）から
ＤＧ＝３
△Ｃ ＤＧで三平方の定理から、Ｃ Ｇが求まります。

ＥとＯを結ぶと、錯角の関係を見て、Ｃ Ｄ//ＥＯであるとわかり
ＥＯとＡＤの交点をＨとすると、中点連結定理からＯ Ｈ＝３で、
ＥＯ＝５なので、ＥＨ＝２
よって、△Ｃ ＤＧと△ＥＨＧの相似比は３：１
よって、ＧＨはＤＧとの比から、１
∠ＧＥＨ＝∠ＦＥＨ（＝∠Ｂ＝∠ＥＣ Ｏ）なので、ＦＨ＝１
よって、ＡＦ＝３
すると、△ＡＧＣ∽△ＥＡＦから
ＡＧ：ＥＦ＝Ｃ Ｇ：ＡＦ→５：ＥＦ＝３√５：３→ＥＦ＝√５
（思いついたのをそのまま書いたので、他にもっといい方法がある
はずだと思います)

お礼

なるほど、ありがとうございます。
言われるとスッキリですね。
ご親切に即答ありがとうございます。

回答No.4

debut

No2です。
(イ)について、これが正式(？)だろうという解き方を書いておきます。

△Ｃ ＤＧ∽△Ｃ ＥＡ（∠ＤＣ Ｇ＝∠ＥＣ Ａ，∠Ｃ ＤＧ＝∠Ｃ ＥＡ＝90°）なので、
Ｃ Ｇ：Ｃ Ａ＝ＤＧ：ＥＡから、３√５：10＝３：ＥＡ→ＥＡ＝２√５
よって、△ＡＣ Ｇ∽△ＥＡＦより
ＡＧ：ＥＦ＝ＡＣ：ＥＡ→５：ＥＦ＝10：２√５→∴ＥＦ＝√５となります。

回答No.2

debut

どこかの長さは１つもなしですか？
例えば、ＡＣ＝10cm、Ｃ Ｄ＝６cmとかなら、ちょうどそうなり
ますが・・・

∠ＡＤＣ＝90°なので、△ＡＣ Ｄと△Ｃ ＤＧで三平方の定理から
求めるのではないかと思います。
それと、ＡＣ：Ｃ Ｄ＝ＡＧ：ＤＧも使って。

回答No.1

Mr_Holland

問題文はこれだけですか？
　どこかに長さの情報がないと解けないと思いますが。

補足

すいません、
AC＝１０ｃｍ、CD＝６ｃｍという情報があります。
よろしくお願いします。