積分の問題なのですが・・・

質問

次のような問題があるのですが、どうにもこうにも分かりません。
分かる方いましたら是非教えてください。

ｘ＞０として、tan^(-1) 1/x+tan^(-1) ((x-1)/(x+1))　は定数になることを示せ。また、その定数の値を求めよ。

tan^(-１)というのはtanの逆関数のことです。見にくくてすみませんが、宜しくお願いします。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

A=tan^(-1) (1/x)
B=tan^(-1) ((x-1)/(x+1))
と置けば
tanA=1/x, tanB =(x-1)/(x+1)
これを
公式
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
に代入すると
tan(A+B)={(1/x)+((x-1)/(x+1))}/{1-(1/x)((x-1)/(x+1))}=1(一定)
x>0
x:0→∞のとき
A:π/2→ 0+
B:-π/4→π/4
A+B:π/4→π/4　（一定で両端でπ/4なので一定値はπ/4）
なので
A+B=π/4

お礼

詳しい説明ありがとうございました。
非常に分かりやすかったです。

回答No.2

Tacosan

積分も微分もいらない.
とりうる値の範囲と「tan の加法定理」だけわかればいい.

お礼

回答ありがとうございました。
微積分にこだわって考えすぎていました。

回答No.1

naniwacchi

積分というよりも、微分の問題ですね。

意外にあっさりとわかってしまう問題です。
なので、方針だけ。

・定数であるということは、xが変化しても全体の値は変わらないということですね。
それを微分を用いて表すとどういうことになりますか？
・tan^(-1)(1/x)などの微分を考える必要がありますが、tan^(-1)(1/x)= yとでもおいて dy/dxを求めることを考えてみてください。
イメージは「対数微分法」に似ています。
・「その定数の値を求めよ」は、定数であることが示されれば、「都合のよい x」を代入して求めることができます。

お礼

回答ありがとうございました。
全く問題の意味が分からなかったのですが、非常に分かりやすくなりました。