次の微積分の解答解説をお願いします。

質問

関数x^2 tan^(－1) xのべき級数展開（またはマクロ－リン展開）を

∑[n=0→∞]a(n)x^nとおく。定数a(5),a(7)を求めよ。ただし,1/(1+x^2)=∑[n=0→∞](－1)^n x^(2n)(|x|<1)を用いてもよい。

またtan^(－1) xはtanxの逆関数で値域が(－π2,π2)のものを表す。

回答No.1

info222_

1/(1+x^2)=∑[k=0→∞](－1)^k x^(2k), (|x|<1)
∫ [0,x] 1/(1+t^2) dt=tan^(-1)(x)　なので
f(x)=x^2 tan^(-1) (x)=x^2 ∫ [0,x] 1/(1+t^2) dt
=x^2 ∫ [0,x] ∑[k=0→∞] (-1)^k t^(2k) dt
=x^2 ∑[k=0→∞] (-1)^k ∫ [0,x] t^(2k) dt
=x^2 ∑[k=0→∞] (-1)^k x^(2k+1) /(2k+1)
=∑[k=0→∞] (-1)^k x^(2k+3) /(2k+1)　...(★)
=∑[n=0→∞] a(n) x^n
=a(0)+a(1)x+a(2)x^2+a(3)x^3+a(4)x^4+a(5)x^5+a(6)x^6+a(7)x^7+ ... (|x|<1)

k=1のとき 2k+3=5なので　(★)のx^5の項の係数から
a(5)=(-1)^1 /(2*1+1)= -1/3

k=2のとき 2k+3=7なので　(★)のx^7の項の係数から
a(7)=(-1)^2 /(2*2+1)= 1/5

(答) a(5)= -1/3, a(7)= 1/5