積分の問題について

質問

次の積分の問題がどうしても解くことができません。解ける方がいましたらお願いします。
問. nを自然数とするとき　∫sin(nt)/tan(t/2) dt をーπからπまで定積分した値を求めよ。
奇関数の性質の利用やtan(t/2)の置換等試みたのですがどうもうまくいきません…

回答No.1

f272 · ベストアンサー

sin(t)/tan(t/2)=1+cos(t)
です。また
(sin((n+1)t)-sin(nt))/tan(t/2)=cos((n+1)t)+cos(nt)
も成り立ちます。これらから
sin(nt)/tan(t/2)=1+2cos(t)+2cos(2t)+…+2cos((n-1)t)+cos(nt)
が成立することが示せます。そうすれば
∫sin(nt)/tan(t/2) dt =t+2sin(t)+(2/2)sin(2t)+…+2/(n-1)*sin((n-1)t)+(1/n)sin(nt)+C
ただしCは積分定数
ですから，-πからπまで定積分であれば2πに等しくなります。

お礼

素早い解答助かりました