微積の問題に困っています。(改訂版)

質問

大学の微積の問題に困ってます。お願いします。
次の(４)(５)はどうといたらよいでしょうか？よろしくお願いします。
(1)x/1＋ｘ⁴を部分分数に展開せよ。
(2)ｘ²＋１∓√2ｘを平方完成せよ。
(3)(2)を利用して、(1)の式を積分せよ
(４)tan⁻¹(１＋x√2)＋tan⁻¹{１/(１＋x√2)}の値を出せ。
(５)tan⁻¹{１/(１＋x√2)}＋tan⁻¹(－１＋x√2)＋C＝tan⁻¹(x²)
と書ける。その理由と定数Cを決定せよ。
　　　　自分の解答
(１)～(３)はx/1＋ｘ⁴={1/(2√2)}{1/(x^2 + 1 - (√2)x) - 1/(x^2 + 1 + (√2)x)}
として、(２)を使い、∫x/1＋ｘ⁴dx=1/2{－tan⁻¹(１＋x√2)＋tan⁻¹(－１＋x√2)}＋A　　(Aは∫定数)
という形で、(３)の答えが出ました。
　(4)はtan⁻¹(１＋x√2)＝α、tan⁻¹{１/(１＋x√2)}＝βと置く。
　tanαtanβ=1がわかり、加法定理より、
　tan(α＋β)＝tanα＋tanβ/１－tanαtanβ=○/０という不定形より、α＋β=π/2・・・＜答え＞
　○/0＝tan(α＋β)なので、tanのグラフから、π/2だと思います。
(５)は、(４)と同じく、tan⁻¹{１/(１＋x√2)}=α・・・とおいてもうまく処理できずに困ってます。どうすればよいのでしょうか？また、この式がどこから出てくるかが不明です。
　(１)～(４)の答えなどを使っていきそうですが、(５)の式を示す際、(３)の答えが少し使いにくい形になっているので、方向性と何を使うかが分りません。
　よろしくお願いします。

回答No.3

yyssaa · ベストアンサー

（５)tan⁻¹{１/(１＋x√2)}＋tan⁻¹(－１＋x√2)＋C＝tan⁻¹(x²)
と書ける。その理由と定数Cを決定せよ。

tan⁻¹{１/(1＋x√2)}=tan⁻¹{(-1＋x√2)/(1＋x√2)(-1＋x√2)}
=tan⁻¹{(-1＋x√2)/(2x^2-1)}=αとおく。
tanα=(-1＋x√2)/(2x^2-1)
tan⁻¹(-1＋x√2)=βとおく。
tanβ=(-1＋x√2)
tanα=(tanβ)/(2x^2-1)
(2x^2-1)=tanβ/tanα
x^2={(tanβ/tanα)+1}/2=(tanα+tanβ)/2tanα
tanα+tanβ=(1-tanαtanβ)tan(α+β)
x^2={1/(2tanα)-(tanβ)/2}tan(α+β)
={(2x^2-1)/2(-1＋x√2)-(-1＋x√2)/2}tan(α+β)
=［{2x^2-1-(-1＋x√2)^2}/2(-1＋x√2)］tan(α+β)
={(2x^2-1-1+2x√2-2x^2)/2(-1＋x√2)}tan(α+β)
={(-2+2x√2)/2(-1＋x√2)}tan(α+β)=tan(α+β)
よってtan-1x^2=α+β=tan⁻¹{1/(1+x√2)}＋tan⁻¹(-1+x√2)
C=0

回答No.2

yyssaa

(4)はtan⁻¹(１＋x√2)＝α、tan⁻¹{１/(１＋x√2)}＝βと置く。
　tanαtanβ=1がわかったら、sinαsinβ/(cosαcosβ)=1
cosαcosβ-sinαsinβ=cos(α+β)=0とすればどうですか？

回答No.1

Tacosan

指摘したことをあんまり理解できていないように感じる....

(4) なぜ「tanのグラフから、π/2」といえるのですか? 言い換えると, なぜ -π/2 でも 107π/2 でもなく π/2 なのですか?
(5) 右辺が何に由来するか, 考えてみましたか?