関数の微分可能性について

質問

(1)円：x^2+y^2＝r^2 の点(r,0)
(2)放物線の一部：y＝x^2 かつ　0≦x　の点（0,0）
においてそれぞれ微分可能かどうか知りたいのですが。

傾きが無限大の時や定義域の端点では微分可能だといえるのでしょうか？
よろしくお願い致します。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

(1)
x=0で微係数が存在しません（傾きが∞というのは傾きが限りなく大きくなり状態だけで微係数そのものは存在しません。）ので微分不可能です。

(2)
この場合は一般の微分可能性の定義は適用できません。
参考URLに詳しい微分可能性の定義がいろいろなケースに付いて書かれています。その中の右微分可能性、右微分係数の定義を適用すれば、（右）微分可能ということになります。

一般の微分可能性では、定義域の端点では微係数が定義できませんが、定義域が有限な場合は、定義域の左端では右側微分可能の定義を適用し、右微係数が存在すれば（右）微分可能といえます（今回の質問が該当）。定義域の上限では左微分可能の定義を適用し、左微係数が存在すれば（左）微分可能といえます。

定義域x≧0の端点x=0では、端点の両側で微係数が定義できない意味（定義域の端点でない点での微係数の存在する）では微分可能でないといえます（高校数学における一般の微分可能の定義。つまり端点での微係数は考えないということです。）。
しかし、大学の数学では、参考URLにあるように、有限な定義域の関数についても、端点の微分可能性の定義がなされています。

■■色々な微分可能性の定義■■
http://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/Differentiation/Differential1VarFnctn/DefDifferentiation.htm

したがって、質問する場合は、どの場合の定義での微分可能性を問うているかを書いていただかないと適切な回答ができません。

お礼

大変詳しいご回答どうもありがとうございます。
参照ページも大変参考になりました。

定義についてですが、
大学以降でも使えるより一般的な場合で知りたいと思っていました。

(２)に関しては
X=0では微分可能ではないが、関数「y＝x^2 かつ 0≦x」は微分可能
みたいですね。
とても紛らわしいですが、分かってきました。

どうもありがとございました。

回答No.4

alice_38

(1) を (x,y) の偏角で微分してみると、
2x dx/dθ + 2y dy/dθ = 0 となります。
(x,y) = (r,0) を代入すると、2r dx/dθ = 0。
この点上で dx/dθ = 0 であることが解ります。
dy/dθ を求めるには、この式だけでは駄目で、
偏角の一般式 tanθ = y/x などを援用する
必要があるでしょう。
ともかく、両辺とも「微分可能」ではあります。

x で微分？ …それなら、そう書かないと。

お礼

ご回答どうもありがとうございます。
θの関数で考えるとは思いもしませんでした。
xで微分を想定しておりました。

いろいろ勉強になりました。
どうもありがとうございました。

回答No.2

koko_u_u

微分可能の定義を補足にどうぞ。

お礼

皆様のご回答を参考にして定義を読み直してみましたら
分かってきました。
どうもありがとうございました。

回答No.1

noname#101670

どちらとも微分は不可能です。

お礼

大半迅速なご回答どうもありがとうございます。