微分について

質問

最近になって微分に入りました。色んな公式などを覚えて、式を微分したりはできるようになったんですが、何の為の物なのかというのがはっきりしません。教科書を読んで、例えば放物線上のある一点の傾きを求めるものだということを理解したのですが、そのためのものなのでしょうか。何で微分することで傾きを求められるのか納得いきません。問題を解く分には関係ない質問なんですが、基本をわかってないと後々怖いことになるかなぁと思って聞いてみました。お時間あるときに回答くれたら嬉しいです。

回答No.1

stripe · ベストアンサー

こんばんは。
理系学生です。
そういう疑問をもつことは非常に大事なことですよ☆

＞何の為の物なのかというのがはっきりしません。

微分というのは、曲線を直線で近似しよう！って考え方かたから生まれたものなんですよ。
なんでわざわざそんなことするのか？っていうと、直線の方が扱い易いからです。（部屋を見回してみても、曲線的なものよりも直線的なものの方が圧倒的に多いですよね。）

＞例えば放物線上のある一点の傾きを求めるものだということを理解したのですが、そのためのものなのでしょうか。

放物線上におけるある一点を点ｂとします。
点ｂにおける接線を考えます。
できたら放物線と点ｂにおける接戦を書いてみてください。
点ｂのごく近くでは、放物線を接戦（直線）で近似できているでしょう？
つまり曲線である放物線を直線で近似しているんです。

＞何で微分することで傾きを求められるのか納得いきません。

これは教科書の微分の定義式の項をみてみてくださいね。
ここで説明をきくよりもわかりやすいと思うので。

わかんないことがあったら補足してください。
参考になったらうれしいです。

お礼

＞曲線を直線で近似しよう！
って言うので何となく微分の存在が分かりました！
そういうものなんだって言うのが分かったので、改めて教科書を読みなおして定義式の項を勉強してみようと思います。分かりやすい説明ありがとうございました！

回答No.3

Rossana

微分は物理現象に応用できます。
波を表す波動方程式（これは大学で習う偏微分というので表せますが）。速度を微分すれば加速度になったり。
大学ではベクトルを微分したり，複素数を微分したりということもでてきて視野が広がる感じがします。

以下，紙と鉛筆を持って考えて下さい。
１．x-y座標を描いて適当に曲線y=f(x)を描く。
２．曲線上に(a,f(a))と(b,f(b))という座標を取る。
３．その２点を線で結ぶ。
４．その線分の傾きは(yの増加分)/(xの増加分)={f(b)-f(a)}/{b-a}
となるのは分かりますよね。
ここでxの増加分を0に近づけていく。つまり，bをaに近づけていくと徐々に(a,f(a))での接線の傾きに近づいていく様子が分かりますか？
５．これが微分すると接線の傾きが出るということです。

お礼

実際に指示通り紙に書いてみました。すごく分かりやすかったです。これが微分なんだ~っていうのが感じで分かりました。ありがとうございました！

回答No.2

takikun70

基本のことではないのですが，
微分は，グラフを書くときにも必要です。
たとえば，放物線になる２次関数の
y=4x^2+2x-3
などのグラフは，公式で頂点がわかれば書けますが，
y=4x^3+2x^2-5x-3などの３次関数や
y=x^4+x^3+2x^2-5x-3などの４次関数
のグラフがどのような形になるか想像できますか？
あと１ヶ月ほどすると習うと思うのですが，
微分の考え方を使うと，そんなグラフも書けるようになります。
世の中すべての関数のグラフが微分を使うことによって，書けるようになります。
というのも，頂点になる部分で接線を考えると，どんな関数でも，必ず傾き＝０になるんです。
そのようなｘの値を微分して求めることによって，
頂点の座標が求まります。
微分には，そんな便利な活用法があります。

お礼

微分って結構奥が深そうですね。っていうか正直難しそうです^^;
でもちょっと楽しみになりました、微分の勉強をしていくことが。ありがとうございました。頑張っていこうと思います！