最大値

質問

三角形の三辺の長さをそれぞれa,b,cとするとき(つまりa>0,b>0,c>0,a+b>c,b+c>a,c+a>b)、
(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/(abc)
の最大値を求めたいです。
a=b=cのとき1になるらしいのですが、どう求めればよいでしょうか？
相加・相乗平均を使おうと思ったのですが、うまくいきませんでした。
できれば高校の範囲でお願いします。

回答No.2

nag0720 · ベストアンサー

a=b=cのとき1と予想されるのなら、
(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/(abc)-1
が
P(a-b)^2+Q(b-c)^2+R(c-a)^2
の形にできるかどうかを調べてみましょう。

(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/(abc)-1
=((-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)-abc)/(abc)
=-(a^3+b^3+c^3-a^2(b+c)-b^2(c+a)-c^2(a+b)+3abc)/(abc)

一方、
(a+b-c)(a-b)^2+(b+c-a)(b-c)^2+(c+a-b)(c-a)^2
=(a^3+b^3-a^2(b+c)-b^2(c+a)+2abc)+(b^3+c^3-b^2(c+a)-c^2(a+b)+2abc)+(c^3+a^3-c^2(a+b)-a^2(b+c)+2abc)
=2(a^3+b^3+c^3-a^2(b+c)-b^2(c+a)-c^2(a+b)+3abc)

よって、
(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/(abc)-1
=-((a+b-c)(a-b)^2+(b+c-a)(b-c)^2+(c+a-b)(c-a)^2)/(2abc)

a+b-c>0、b+c-a>0、c+a-b>0、abc>0　なので、
a-b=b-c=c-a=0　すなわち　a=b=c　のとき、
(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/(abc)　は最大値1となる。

回答No.1

osu_neko09

cが一定、a+bも一定、という仮定を置く。
分母abcが最小になるのはa=b=cのとき。

分子(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)を展開してcについてまとめて、定数項を除外すると(a-b)(a-b)(c-b-a)。条件から(c-b-a)は負であるため、これが最大になるのは(a-b)(a-b)が最小になるa=bのとき。

同様にbが一定としてもa=cのとき分子が最大になるから、結局a=b=cのとき分子が最大になる・・と言えるんじゃないかな。