【三角関数】

質問

地上にいる人が高さ200mの高層ビルの屋上に立っている高さ50mの鉄塔をみる。
鉄塔の上端をA、この人をB、鉄塔の下端をCとするとき、
∠ABCが最大となるのは、この人がビルから何ｍ離れた時か？
ただし、この人の身長は無視することとし、また、ビルや鉄塔の水平方向の大きさも無視する。

∠ABCが最大⇔tan∠ABCが最大(0°<∠ABC<90°)
だから、それを使いますよね…？

相加・相乗平均の関係を使うらしいんですが、
そのときはいつも最小値の問題だから、
最大値を求められるのが不思議です

解ける方いらっしゃいましたら、
教えてください。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

A、Cの真下の地上の位置をDとし、BD=x（>0）とすると
tan∠ABC=tan(∠ABD-∠CBD)
=(tan∠ABD-tan∠CBD)/(1+tan∠ABD*tan∠CBD)

ここで
tan∠ABD=AD/BD=(200*50)/x=250/x,
tan∠CBD=CD/BD=200/x なので

tan∠ABC=((250/x) -(200/x))/(1+(250/x)(200/x))
=50/(x+(50000/x))　...(◆)

>最小値の問題だから、
>最大値を求められるのが不思議です

ここで(◆)の分母に相加平均・相乗平均の関係を適用するので
　分母の最小値が求められ、（◆）の式では分母になるので逆に最大値が求められることになります。

分母に相加平均・相乗平均の関係から
　x+(50000/x)≧2√(x(50000/x))=200√5
　等号は x=50000/x　即ち　x=√50000=100√5　のとき成立
であるから

tan∠ABC≦50/(200√5)=(√5)/20
等号はx=100√5(m)のとき成立。

以上から
tan∠ABCはx=100√5(m)のとき最大値(√5)/20をとる。
0＜∠ABC＜90°なので　tanxは0＜x＜90°ではxの単調増加関数であることより
tan∠ABCが最大になるとき∠ABCも最大となる。
したがって∠ABCの最大値は
∠ABC=tan^-1((√5)/20) (≒6.379°、0.11134ラジアン)
この時のBの位置はビルからx(m)離れた x=100√5(m)(≒223.6(m))の時である。

回答No.2

ferien

地上にいる人が高さ200mの高層ビルの屋上に立っている高さ50mの鉄塔をみる。
鉄塔の上端をA、この人をB、鉄塔の下端をCとするとき、
∠ABCが最大となるのは、この人がビルから何ｍ離れた時か？
＞ただし、この人の身長は無視することとし、また、ビルや鉄塔の水平方向の大きさも無視する。
ビルの真下をＤとする。人からビルまでの距離ＢＤ＝ｘｍとする。
tan∠ＡＢＤ＝（200+50）／ｘ＝250／ｘ
tan∠ＣＢＤ＝200／ｘ
加法定理より
tan∠ＡＢＣ＝tan（∠ＡＢＤ－∠ＣＢＤ）
＝（tan∠ＡＢＤ－tan∠ＣＢＤ）／（１＋tan∠ＡＢＤ・tan∠ＣＢＤ）
＝（250／ｘ）－（200／ｘ）／｛１＋（250／ｘ）・（200／ｘ）｝
＝50／ｘ／１＋（250・200／ｘ^2）
＝１／｛（ｘ／50）＋｛1000／ｘ）｝
ｘ／50＞０，1000／ｘ＞０だから、
相加平均・相乗平均より、
（ｘ／50）＋（1000／ｘ）≧２√（ｘ／50）・（1000／ｘ）＝４√５だから、
１／｛（ｘ／50）＋（1000／ｘ）｝≦１／４√５＝√５／２０
よって、
tan∠ＡＢＣ＝１／｛（ｘ／50）＋｛100／ｘ）｝≦√５／２０
等号成立は、ｘ／50＝1000／ｘのとき、ｘ^2＝50000だから、
ｘ＞０より、ｘ＝１００√５
よって、tan∠ＡＢＣの最大値は、√５／２０
このとき、人からビルまでの距離は、１００√５ｍ

のようになりました。計算を確認してみて下さい。