大学受験における相加平均・相乗平均の関係

質問

相加平均・相乗平均の関係というものがありますよね
0≦a 0≦b →　　√ab ≦　(a+b)/2

これは大学受験でも結構使う場面があるのですが
私には、毎回かなり突拍子も無く出てくる印象があります

私は定型問題はほとんど落とさず
初見の問題でも、既知の定理を使って、かなり食いつけるようになって
きたのですが、相加平均・相乗平均の関係を使うべき場面で
相加平均・相乗平均の関係を使うことを思いつかず、その問題を落とすという
ことが多々あります

ほかの定理では問題文から落ち着いて考えていけば
その定理を使うという発想が出てくるのですが、相加平均・相乗平均の関係
を使うべき場面では、どうすればそれを使うことが思いつけるのかわかりません

ab と　a+b　が出てきたら怪しいな
ab と　a+b　が最小最大にからまって出てきたらかなり怪しいな
という考え方ぐらいしか思いつかないのですが、それ以外にどう考えていけば
相加平均・相乗平均の関係を思い出せるようになるのでしょうか？

回答No.1

zacky93141 · ベストアンサー

その考え方でいいと思います。

不等号、最大最小が絡んだ時の1つの手段ですね。
微分をすることが直接的な方法なので見落としやすいですが、常に無理にでも使えないか、と意識的にしておけばでてきやすいと思います。

お礼

なるほど、無理やりにでも使えないかと意識してみるのですね
それは思いつきませんでした

回答No.3

178-tall

>相加平均・相乗平均の関係というものがありますよね
>0≦a 0≦b →　　√ab ≦　(a+b)/2
>　…
>ab と　a+b　が最小最大にからまって出てきたらかなり怪しいな　という考え方ぐらいしか思いつかないのですが…

「不等式」にからんでよく現れますネ。
　ab≦(a^2 + b^2)/2
ならば、ハハーンとおっしゃるでしょう。
　0≦(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab
ですからネ。

左様、
　{√(a) - √(b) }^2 ≧0
なども躊躇なく書けるよう、脳リキ (力) を手なづければよいのでは？

回答No.2

bgm38489

以下サイトに、例題が載ってっますね。
http://examoonist.web.fc2.com/equation-inequality.html
後ろの方の、「相加平均と相乗平均の関係の基本・最大最小問題への応用・落とし穴と限界」というところ。

二つを足したものがあるもの以上。あるいは、足したものの最小値を求めさせるような問題。この足す二つのものを掛け合わせると、簡単な式あるいは値となると、間違いなく、相加・相乗平均の出番です。
これは、a+b>=２√abという式を用いる方が便利。

相加・相乗平均の関係式より、a+b>=2√ab
すなわち―

という風にね。

この落とし穴と限界に載っているように、最大値は求まらないことに注意。