条件つきの最大値

質問

x≧0,y≧0,x+y≦6のとき
z＝(x-2)(y+3)の最大値とそのときのx,yを求めよ。

先生から与えられたヒントが相加・相乗平均の関係を使うことなので、

x≧0,y≧0で、相加・相乗平均の関係より、
x+y≧2√(xy)
(等号成立はx＝yのとき。)

与えられた条件と合わせて
2√(xy)≦x+y≦6
とりあえずこのように相加・相乗平均の関係を用いましたが、
これ以上進みませんでした。

どなたか教えて下さい。

回答No.5

noname#71195 · ベストアンサー

i)x<2のとき、常にz<0

ii)x>=2のとき
相加相乗平均の関係によれば、X>=0,Y>=0のとき(X+Y)/2>=√(XY) <=> XY<=((X+Y)/2)^2 (等号成立X=Y)です。これを用いると、
z=(x-2)(y+3)<=(((x-2)+(y+3))/2)^2=((x+y+1)^2)/4 (等号成立x-2=y+3)
となります。つづいて0<=x+y<=6を用いると、
((x+y+1)^2)/4 <=((6+1)^2)/4=49/4 (等号成立x+y=6)となります。
結局z=(x-2)(y+3)<=49/4,等号成立条件は
x-2=y+3 かつ(←ポイント) x+y=6 <=> x=11/2,y=1/2
となります。このx,yは条件を満たしています。

i),ii)をあわせて、x=11/2,y=1/2のときzは最大値49/4をとる、ということになります。

この問題では、二つの等号成立条件を同時に満たすx,yがあったから、それらが最大値を与えることができたのだということを理解しておかないといけません。また相加相乗が使えない場合もあるので、#4さんのような解法もできるようになっておくべきです。

お礼

回答ありがとうございました。
昨年、「式と証明」という分野で初めて相加・相乗平均の関係を
習いましたが、自分の持っている問題集にちょうどそのことが書いてあったので一応覚えています。

解法の仕方を覚えて損することはないので、両方の解法を理解して使いこなせるようにしたいと思います。

ありがとうございました。

回答No.4

razumihin

z＝(x-2)(y+3)=xy+3x-2y-6=(y+3)x-2y-6
としてzをxの関数と見ましょう。x≧0,y≧0,x+y≦6(→x≦6-y)より
　　0≦x≦6-y・・・(1) かつ　0≦y・・・(2)
zはxの一次関数で、y+3>0 ((2)より) ですので右肩上がりの直線に相当。従ってxが(1)の範囲ではx=6-yのときzが最大になります。このとき
z=(y+3)(6-Y)-2y-6
=-y^2+y+12
=-(y-1/2)^2+49/4 (※記号^はa^2=a*aを意味する)
これは頂点(1/2,49/4)の下に凸の放物線。いまyの範囲は(2)ですので
y=1/2のときzは最大値49/4をとる。このときxは
x=6-y=6-1/2=11/2
となる。
以上から　zの最大値は49/4でそのときのx,yはx=11/2,y=1/2　であるといえます。いかがでしょうか？

お礼

回答ありがとうございます。
先日の整数問題でもお世話になりました。

この問題は数学の先生から授業中に出されたものなので、答えが分からないため、明日先生の所に確認に行きたいと思います。

回答No.3

noname#71195

#1さんのヒントに補足。相加相乗はx,yについて使うのではなく、(x-2),(y+3)について使うのです。

また、そもそもx<2のときz<0,x>=2のときz>=0であることから、x<2でzが最大値をとる可能性は排除できます。

解答を書くときは、論理に穴が開かないよう注意しましょう。ご希望なら解答を書きます。

お礼

回答ありがとうございました。
やはり使う文字が間違っていましたか。

razumihinさんから回答していただきましたが、他の解法の仕方も知りたいので解答を書いてください。お願いします。

回答No.2

take_5

y＋3≧3ですが、x-2は≧0とは限りません。
x≧0,y≧0,x+y≦6ですから、0≦y≦6-xより　0≦x≦6です。
x-2≧0は必ずしも成立しません。

あくまで、2変数の問題と考えたほうがいいでしょう。

お礼

回答ありがとうございました。
y+3は常に正の値をとり、x-2はxの値で正の時と負の時があるなとしか
考えられませんでした。
xの取り得る値の範囲は確定するんですね。

回答No.1

Tacosan

(x-2) + (y+3) = (x + y) + 1 ≦ 7.

お礼

回答ありがとうございます。
どのように回答に生きるのか分かりません。
少し考えてみたいと思います。