相加相乗平均について

質問

↓のページの2004年07月15日 04:44の書きこみについての質問なのですが、
http://blog.livedoor.jp/calc/archives/4339198.html

>k=a+b+c とする時
>abcの最大値は、相加相乗平均からa=b=cの時

と書いてありますが、これはいったい何故なのでしょうか？
どなたかよろしくお願いします。

回答No.3

abyss-sym · ベストアンサー

AN0.2です。
＞ここで、ちょっと疑問なのですが、「等号の成立はa=b=cのときのみ」とのことですが、これは何故なのでしょうか？

(x+y+z)1/2{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}＝0
x＞0,y＞0,z＞0より、x+y+z≠0
したがって、(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2＝0
(x-y)^2≧0 ,(y-z)^2≧0 ,(z-x)^2≧0 であることは明らかなので
(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2＝0 となるためには、それぞれが０でなくてはならない。
よって、x=y=zのとき等号が成立します。

お礼

すみません＾＾；
返信が遅くなってしまいましたが、ありがとうございました＾＾

回答No.2

abyss-sym

x^3+y^3+z^3≧3xyz を証明します。
x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
=(x+y+z)1/2{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}≧0
よって、x^3+y^3+z^3≧3xyz
x=a^(1/3),y=b^(1/3),z=c^(1/3)とすると、
(a+b+c)/3≧(abc)^(1/3)
等号の成立はa=b=cのときだから、その時が最大となる。

お礼

解答有り難うございました＾＾

ここで、ちょっと疑問なのですが、「等号の成立はa=b=cのときのみ」とのことですが、これは何故なのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.1

info22

a>0,b>0,c>0…(A)の時
相乗平均≦相加平均（等号は全ての変数a,b,cが等しい時）
の関係
(abc)^(1/3)≦(a+b+c)/3…(B)（等号はa=b=c＞0でのみ成立）
の関係にある。
これを使えば（A)から(B)の両辺は正ゆえ３乗して
abc≦{(a+b+c)^3}/27＝(k^3)/27(これは定数です)
つまり、abcは定数の(k^3)/27以下で
a=b=cの時、最大値(k^3)/27に等しくなる
ということです。

相加平均、相乗平均の関係は以下を参照下さい
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B3%E5%9D%87#.E7.9B.B8.E5.8A.A0.E3.83.BB.E7.9B.B8.E4.B9.97.E3.83.BB.E8.AA.BF.E5.92.8C.E5.B9.B3.E5.9D.87.E3.81.AE.E4.B8.8D.E7.AD.89.E5.BC.8F

お礼

解答有り難うございました＾＾