不等式について

質問

たびたびすいません

(1)
1/(x-2)＋2<1/(x-3)

両辺に(x-2)(x-3)をかけると
3(x-3)＋2(x-3)(x-2)<x-2
ですが、これをどのように場合わけすればいいのでしょうか？

(2)

|x＾-4x-5|<x＋1

絶対値の中は因数分解できるので

x＾-4x-5=(x-5)(x＋1)
このあとどのように場合わけをすればいいですか？

回答No.3

noname#24477

最終的には同じなのですが
（１）２乗の式を掛ければ不等号の向きを考えなくても良い。

(x-2)^2(x-3)^2を掛ける。
(x-2)(x-3)^2+2(x-2)^2(x-3)^2<(x-2)^2(x-3)

左辺に移項して因数分解だけど、共通因数があるので
簡単にできるはず。後はグラフ（ｘ軸との交点）を考える。
４次式のグラフを知らないとできません。

（２）
-(x+1)<x^2-4x-5<x+1
でＯＫ
２つの不等式を解いて共通部分。
場合わけでやるのとどちらが簡単かわかりませんけどね。

回答No.2

oshiete_goo

問題（１）分母の条件より，ｘ≠２，ｘ≠３・・・（１）
この条件の下に

i）ｘ＜２　または　３＜ｘ・・・（２）　のとき
(x-2)(x-3)（＞０）を両辺にかけると，不等号の向きはそのままで
(x-3)＋2(x-3)(x-2)＜x-2・・・（３）
（２）かつ（３）を求める．

ii)２＜ｘ＜３・・・（４）のとき
(x-2)(x-3)（＜０）を両辺にかけると，不等号の向きは逆になり
(x-3)＋2(x-3)(x-2)＞x-2・・・（５）
（４）かつ（５）を求める．

結局，(（１）かつ)　i)またはii)が答え．

問題（２）
(x-5)(x＋1) が　０以上か負かで場合わけして絶対値を外せばよい．

回答No.1

fushigichan

tati353さん、こんにちは。

＞(1)
1/(x-2)＋2<1/(x-3)

両辺に(x-2)(x-3)をかけると
3(x-3)＋2(x-3)(x-2)<x-2

いきなり、(x-2)(x-3)をかけたらいけません。
(x-2)(x-3)≧0のときと、
(x-2)(x-3)<0
のときで、場合わけをしないと、不等号の向きが変わってしまいます。

1)(x-2)(x-3)≧0のとき、
このとき、すなわち、x≦2,3≦xのときですが
両辺(x-2)(x-3)倍しても、不等号の向きはそのままで、
(x-3)+2(x-2)(x-3)<(x-2)
これを整理して
2x^2-10x+11<0
(5-√3)/2<x<(5+√3)/2
ここで、最初の条件から、範囲は
(5-√3)/2<x≦2,3≦x<(5+√3)/2となります。

2)(x-2)(x-3)<0のときも、同様に求めてみてください。
このとき、(x-2)(x-3)をかけることで、不等号の向きが変わるので
(x-3)+2(x-2)(x-3)>(x-2)
となります。
これと、最初の条件から満たす範囲を求めてくださいね。

＞(2)

|x＾-4x-5|<x＋1
絶対値の中は因数分解できるので
x＾-4x-5=(x-5)(x＋1)

|x^2-4x-5|<x+1ですね。
|(x-5)(x+1)|<x+1となります。
ここで、絶対値をはずすために、絶対値の中身で場合わけします。

1)(x-5)(x+1)≧0のとき
すなわち、x≦-1,5≦xのとき
絶対値はそのままはずれて、
(x-5)(x+1)<x+1
x^2-4x-5<x+1
x^2-5x-6<0
(x-6)(x+1)<0
-1<x<6
ここで、最初の条件から、5≦x<6

2)(x-5)(x+1)<0のとき、同様にやってみてください。
このときは、すなわち-1<x<5のときですが
絶対値はマイナスをつけてはずれます。
-(x^2-4x-5)<x+1
x^2-4x-5>-x-1
x^2-3x-4>0
(x-4)(x+1)>0
x<-1,4<x
ここで、最初の条件より、4<x<5

1)2)より、求めるｘの範囲は、4<x<6・・・（答え）