不等式の解法

質問

√(x+3)>2x
これの解き方なんですが

まず、根号の中は絶対に0以上なので
x+3≧0 つまりx≧-3となり、以下この下で考える。
[ⅰ]2x≧0のとき、両辺が正だから2乗しても同値性が崩れないので
x+3＞4x^2
4x^2-x-3＜0
(x-1)(4x+3)＜0
これよりx≧0に注意して
0≦ｘ≦1

[ⅱ]2x＜0つまり
-3≦x＜0のとき、明らかに不等式は成り立ちます。

以上
[ⅰ][ⅱ]を合わせて-3≦x≦1

と教えてもらったんですが、
[ⅱ]も[ⅰ]と同じように、両辺2乗して不等号の向きを変えてｘの範囲を求めたら駄目なのでしょうか？
1時間ほど考えましたがわかりませんでした＞＜
数学得意な方教えてください。

回答No.1

halnoske · ベストアンサー

＞[ⅱ]も[ⅰ]と同じように、両辺2乗して不等号の向きを変えてｘの範囲を求めたら駄目なのでしょうか？

「両辺2乗して不等号の向きを変える」ことができるのは、
両辺ともが不の値のときです。

今回の[ⅱ]で前提としている条件は「2x<0」であり、
「√(x+3)」が正の値か不の値かということには触れていませんので、
「両辺2乗して不等号の向きを変える」ことはできません。

[ⅱ]をさらに二つに場合分けすれば、その考え方でも解けそうですけどね。

回答No.4

staratras

>両辺2乗して不等号の向きを変えてｘの範囲を求めたら駄目なのでしょうか？
この場合は駄目です。それが可能なのは両辺とも負のときのみです。

2X<0、つまり-3≦x<0のときは
不等式の左辺は正（または0）、右辺は負です、これの両辺を２乗するということは、左辺には正の数（または0）、右辺には負の数をかけることになり、同値性が崩れます。

式だけで考えてわかりにくければ、y=√（x+3）　と　y=2x　のグラフを書いてみてください。

回答No.3

R_Earl

> [ii]も[i]と同じように、両辺2乗して不等号の向きを変えてｘの範囲を求めたら駄目なのでしょうか？

常に不等号の向きが変わるとは限らないので、駄目です。
-1 < 2は両辺を2乗しても不等号の向きを変える必要がありません。
-3 < 2は両辺を2乗したら不等号の向きを変える必要があります。

「不等号の向きを変える場合」と「不等号の向きを変えない場合」で
場合分けすればできるかもしれませんが、正直面倒です。

回答No.2

Quattro99

ダメだと思います。というか意味がわかりません。
左辺は正または0ですから右辺が負ならその時点で必ず成り立ちます（左辺が実数である条件のもと）。

負の数と負の数の大小を比べる場合に、二乗すると大小が逆転することと混同していませんか？