集合の問題

質問

全てのAはBであり、Cの中にはAであるものが存在する。次の記述のうち常に正しいのはどれか？

　Bの中にはCであるものがある。
　Aの中にはCでないものがある。
　全てのCはBでない。

読解力がよく分かりません。分かる方よろしくお願いします。

回答No.3

rfiosrjf

折角なので集合を使って考えてみました。
以下、集合の図を描くとわかりやすいです。

「全てのAはBであり、Cの中にはAであるものが存在する。」とは
「任意のxに対して、x ∈ Aならばx ∈ Bであり、
適当なxに対してx ∈ C ならば x ∈ A」ということですね。

「任意のxに対して、x ∈ Aならばx ∈ B」は「A ⊂ B」と同値です。
(どんなAもBだからAはBに含まれています)
「適当なxに対してx ∈ C ならば x ∈ A」は「C ∩ A ≠ φ」と同値です。
(AとCを同時に満たすものが必ず存在しますよね)

ここで、φは空集合(なにもない集合)とします。

I. Bの中にはCであるものがある。
詰まり、適当なxに対して、x ∈ B ならば x ∈ Cということで、
B ∩ C ≠ φです。

ここで、仮定よりA ⊂ Bなので、(C ∩ A) ⊂ (C ∩ B)です。
よって、仮定よりC ∩ A ≠ φなので当然C ∩ B ≠ φです。
即ち、B ∩ C ≠ φより正しいです。

II. Aの中にはCでないものがある。
詰まり、「適当なxに対して、x ∈ A ならば (x ∈ Cでない)」です。
ここで対偶をとります。
「適当なxに対して、x ∈ C ならば (x ∈ Aでない)」ですね。

仮定より、「適当なxに対してx ∈ C ならば x ∈ A」なので
「適当なxに対して、x ∈ C ならば (x ∈ Aでない)」
なんて言っていませんから正しくないです。

◇反例を考えてみましょう。
問題の「適当なxに対して、x ∈ C ならば (x ∈ Aでない)」
というのは、Cの中の要素を1つとったらAでないものがある、です。
仮定の「適当なxに対してx ∈ C ならば x ∈ A」
というのは、Cの中の要素を1つとったらAであるものがある、です。

全てのCがAの時、Cの中の要素を1つ取ったらAですが、Aでないものなんてありませんよね!
即ちC ⊂ Aの時ですね。

III. 全てのCはBでない。
これは2通り考えられます :
(い) 「任意のxに対して、(x ∈ C ならば x ∈ B)でない」
(ろ) 「任意のxに対して、x ∈ C ならば (x ∈ Bでない)」
日本語だと分かりづらいですよね。それぞれ考えてみましょう。

(い)
即ち、これは「C ⊂ Bでない」と言っていますね。
そんなことは言っていませんから正しくありません。

◇反例を考えてみましょう。
詰まり、C ⊂ Bであるものですね^^;
C ⊂ Bでも、「A ⊂ B かつ C ∩ A ≠ φ」を満たせます。

(ろ)
これは、どんなCでもBに含まれることはないということですが、
言い換えれば「適当なxに対して、x ∈ C ならば x ∈ Bとなるものがない」
ですね。これを式にすれば、
C ∩ B = φ
ですが、IよりB ∩ C ≠ φなので明らかに正しくありません。

◇絶対にB ∩ C ≠ φとなるので、C ∩ B = φと成り得ません。
従って、どんな場合も反例に成り得ます。

以上より、Iが正しく、IIは反例があり、IIIは解釈によっては成り得ない、若しくは反例があるということでIですね。

冗長な説明で申し訳なかったです^^;
また、高校の集合の範囲までしか存じませんので厳密な解答ではないかも知れませんことをご了承下さい;

お礼

数学らしい解き方ですね。分かりやすいです。rfiosrjfさん、どうもありがとうございました。

回答No.2

sanori

こんばんは。

このような村を考えます。
Ａ：　女性
Ｂ：　人間
Ｃ：　老人
「全ての女性は人間であり、老人の中には女性が存在する。」

場Ｊ　人間の中には老人であるものがある。
　→　すべての女性は必ず人間で、女性の中に必ず老人がいるので、常に正しい。

場Ｋ　女性の中には老人でないものがある。
　→　「老人の中には女性が存在する」とは言っているが、女性全員が老人である可能性があるので、常に正しくはない。

場Ｌ　全ての老人は人間でない。
　→　これは説明不要ですよね？

ご参考になりましたら幸いです。

お礼

具体例が分かりやすくて理解することができました！
sanoriさん、ありがとうございました。

回答No.1

gohtraw

全てのＡはＢなので、ＡはＢの中にすっぽり入る形になります。さらにＣの中にはＡであるものが存在するので、ＡとＣには重なる部分がある、つまりＣの中にはＢであるものがあるということになります。これらを踏まえて、
　一番目：Ｃの中にはＡであるものがあるわけで、一方全てのＡはＢなのでこれは常に正しいといえます。
　二番目：ＣとＡについては重なりがあるということしか判っていません。Ｃに含まれないＡが存在するかどうかは判りません。
　三番目：一番目と同じ考え方で、これは常に誤っています。

お礼

素早いご回答ありがとうございます。そのように考えましたら解決しました。ありがとうございました。