集合の問題です。

質問

次の問題が解けないので誰か解いていただけないでしょうか？お願いします。
２つの集合Ａ、Ｂの要素は次の通りである。
Ａ＝｛-2,-1,5,a^2,2a-2｝,Ｂ＝｛4,b,2a+b｝
(1)0が集合Ａ,Ｂの要素のとき、a,bの値をすべて求めよ。
(2)Ａ∩Ｂ＝｛0｝のとき、a,bの値をすべて求めよ。
(3)集合Ａが集合Ｂを含むとき、a,bの値をすべて求めよ。

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

(1)　集合Aが０を要素に含むことと
　　a^2＝0 または、2a-2＝0
が必要十分です。従って、ａについてこの条件を解くと、
　　a＝0,1
となります。
　ここで、aのそれぞれの値について集合Ｂを求め、０を要素にもつための必要十分条件を求めます。
　　ａ＝０のとき、Ｂ＝｛4,b,b｝　　⇒　ｂ＝０
　　ａ＝１のとき、Ｂ＝｛4,b,b+2｝　⇒　Ｂ＝0,-2
　従って、a,bの値は、次のようになります。
　　(a,b)＝(0,0), (1,0), (1,-2)

(2)　この問題を解くために、(１)の結果を使います。
　Ａ∩Ｂ＝｛0｝となることは、{0}∈Ａかつ{0}∈Ｂ　と必要十分です。
　このそれぞれの条件は、(１)で求めましたので、そのの結果を用い、Ａ∩Ｂ＝｛0｝となるケースを探します。

　(a,b)＝(0,0)のとき、
　　Ａ＝{-2,-1,5,0,-2}, Ｂ＝{4,0,0}　　⇒　Ａ∩Ｂ＝{0}で成立。
　(a,b)＝(1,0)のとき、
　　Ａ＝{-2,-1,5,1,0}, Ｂ＝{4,0,2}　　⇒　Ａ∩Ｂ＝{0}で成立。
　(a,b)＝(1,-2)のとき、
　　Ａ＝{-2,-1,5,1,0}, Ｂ＝{4,-2,0}　　⇒　Ａ∩Ｂ＝{-2,0}で不成立。

　従って、Ａ∩Ｂ＝｛0｝となるのは、次のケースだということが分かります。
　　(a,b)＝(0,0), (1,0)

(3)　Ａ⊇Ｂ　であるためには、{4}∈Ａでなければなりません。
　このための条件は、a^2=4 または 2a-2=4 ですので、
　　ａ＝±2、3
となります。
　ここで、このａの各値についてｂの条件を求めますと、次のようになります。

　ａ＝２のとき、
　　Ｂ＝{4,b,b+4}　Ａ＝{-2,-1,5,4,2}　⇒　ｂ＝-２　で必要十分。
　ａ＝－２のとき、
　　Ｂ＝{4,b,b-4}　Ａ＝{-2,-1,5,4,-6}　⇒　ｂ＝-２　で必要十分。
　ａ＝３のとき、
　　Ｂ＝{4,b,b+6}　Ａ＝{-2,-1,5,9,4}　⇒　ｂ＝-１　で必要十分。

　従って、ａとｂの組み合わせは、次のように求められます。
　　(a,b)＝(2,-2), (-2,-2), (3,-1)

補足

回答ありがとうございます。
(3)のa=3のとき、
『Ｂ＝{4,b,b+6}　Ａ＝{-2,-1,5,9,4}　⇒　ｂ＝-１　で必要十分。』とありますが、b=-2でもB={4,-2,4}となり必要十分にならないでしょうか？

回答No.3

Mr_Holland

＃２です。
　補足を拝見しました。

＞(3)のa=3のとき、
＞『Ｂ＝{4,b,b+6}　Ａ＝{-2,-1,5,9,4}　⇒　ｂ＝-１　で必要十分。』とありますが、b=-2でもB={4,-2,4}となり必要十分にならないでしょうか？

　まさにその通りです。
　もう一つ組み合わせがありました。

お礼

そうですか。ありがとうございました。
助かりました。

回答No.1

LPLBIF

参考書でも参考にしましょう。