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集合と論理の問題です
こんにちは。 集合と論理の問題で、頭を抱えております。 どなたか、分かりやすい解説をおしえていただけませんか。よろしくお願いします。 問 ・AならばBである。 ・AでないならばCである。 ・DでないならばCでない。 以上の3つの命題から正しく導かれる結論は、次のうちどれか。 (1)BでないならばDである。 (2)CならばBでない。 (3)DならばBでない。 (4)CならばBである。 (5)BならばDである。 正解は(1)となっております。
- yoko--yoko
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与えられた条件に番号をつけ、 記号⇒を導入して書いてみます。 P1：A⇒B。 P2：Aでない⇒C。 P3：Dでない⇒Cでない。 それぞれの対偶命題が成り立ちます。対偶命題ともとの命題は同値です。 Q1：Bでない⇒Aでない。 ； P1と同値です。 Q2：Cでない⇒A。 ； P2と同値です。 Q3：C⇒D。 ； P3と同値です。 P1～P3 と Q1～Q3を使って、それぞれの場合を見ていきます。 (1) Bでない⇒Aでない⇒C⇒D のように、 Q1,P2,Q3 の順番で命題と対偶命題を適用することで(1)を導ける。 (2) Q3 で「 CならばDである」まではわかるけど、それ以上できない。 A ＝真 B＝真 C = 真 D = 真 は、 命題P1～P3(Q1～Q3)を満たすが(2)を満たさない。 (3)どの命題もうまく適用できない。 A ＝真 B＝真 C = 偽 D = 真 は、 命題P1～P3(Q1～Q3)を満たすが(3)を満たさない。 (4) Q3 で「 CならばDである」まではわかるけど、それ以上できない。 A ＝偽 B＝偽 C = 真 D = 真 は、 命題P1～P3(Q1～Q3)を満たすが(4)を満たさない。 (5)どの命題もうまく適用できない。 A ＝真 B＝真 C = 偽 D = 偽 は、 命題P1～P3(Q1～Q3)を満たすが(5)を満たさない。 論理の問題のお約束として、 「A ならば B」という命題は「Aでない または Bである」という命題と同値です。 「Aでない」ときには、 Bに関係なく 「A ならば B」 が成り立ちます。 「A ならば B」 が成り立たないようにするには、 「Aである かつ Bでない」が成り立っている必要があります。 （反例はこのことを使ってつじつまが合うように作りました）
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- iwankf
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|--A--|--c--| (1) |--B----|---| (2) |--|---D----| (3) で分かりますか．上下が重なれば含まれるということです． B でないは，cの一部であり， Dの一部です． C には，Bの一部があります D には，Bの一部があります B には，Dと，Dでないものがあります．
- rnakamra
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ベン図を書いてみるとよいのでしょうがそれをする手段がないので他の人に任せます。 ここではそれぞれの命題を書きかえることで(1)を示してみましょう。 AならばB この命題の対偶をとると BでないならばAでない が得られます。対偶の真偽は元の命題の対偶と一致しますのでこの命題も真です。 この命題と2番目の命題から BでないならばAでなく、すなわちCである となります。 さらに3番目の命題の対偶をとると CならばDである となり、先ほど得られた命題と合わせると BでないならばAでなく、すなわちCであり、Dである つまり BでないならDである となります。 対偶命題をとると真偽が一致するので一つの真である命題があると、その対偶をとることで真の命題を作ることができます。逆・裏の真偽は元の命題とは関係ありませんのご注意ください。
すみません…No.1ですが、色々間違えている気がします 例えば ＞そのまんまです AならBだしAじゃないならBじゃないんです なんかは、AじゃないならBじゃないというのが成り立つとは限らないです
・AならばBである。 そのまんまです AならBだしAじゃないならBじゃないんです ・AでないならばCである。 そのまんまです ようはBじゃなければCだということです ・DでないならばCでない。 ここが一番わかりにくいところだと思います 対偶というのは知っていますか？何々ならばほにゃららだ、というときほにゃららじゃないならば何々じゃないんだ、と、左右を反対にして否定をしたものが対偶になります この対偶は対偶にするまえのものが正しいなら対偶も正しくなります 話をもどして、DでないならばCでない、を対偶にするとCでないわけではないならばDでないわけではない、分かりやすくするとCならばDとなります CになるときはAじゃないということがAでないならばCであるから分かっているので、Aでない→Cである→Dであるとなります また、CであるということはAでない、AでないということはBでないので、 Bでない→Aでない→Cであるとなります この 「Bでない→Aでない→Cである」と「Aでない→Cである→Dである」から Bでない→Aでない→Cである→Dである というのが分かるので、最初と最後をくっつけて「BでないならばDである」となります 説明ややこしかったでしょうか…？
