集合の問題で教えてください

質問

DをC（複素数）内の領域とします。もし、Dの空出ない部分集合Aで、Dの閉かつ開集合であるようなものが存在すれば実は、A＝Dである。

という命題の照明をするとき、

(1)B=D-Aとおくと、BもD内の閉かつ開集合になる。
(2)B≠φ　ならば、D=A∪B,A∩B＝φとなるので、Dの連結性に反する。
(3)したがって、B=φであり、A＝D

と書いてあります。が、
(1)でBがD内の閉かつ開になぜなるのでしょうか？
そもそも、Dが領域ということは、開で連結なだけで、閉、という条件は持たないのではないかと思います。

よろしくお願いします。

回答No.4

tmppassenger · ベストアンサー

状況として、DにはC（複素平面）からの相対位相を入れる、という事でいいですね。で、この時『Dの開集合』というのは、 D∩U（UはCの開集合）と書けるもの、『Dの閉集合』というのは、D∩W（WはCの閉集合）と書けるもの、となるのでした。
で、Aが『Dの開集合』である時、A= D∩U（UはCの開集合）となるUが存在し、この時 D\A = (C\U)∩Dとなって（確認しましょう）、C\UはCの閉集合ですから、D\Aは確かに『Dの閉集合』となります。

で、先程の例で、D = {z ∈ C | |z| < 1 または |z| > 2} に対してC（複素平面）からの相対位相を導入した時、A= {z ∈ C | |z| < 1} はCの開集合で、D⊃Aですから、AはDの開集合です。一方、D\A = {z ∈ C | |z| >2} は、これもCの開集合なので、D\AはDの開集合、従ってA = D\(D\A)はDの閉集合です。あるいは、W = {z∈ C | |z|≦3/2} はCの閉集合で、A = D∩Wなので、AはDの閉集合である、という考え方も出来ます。

このように、今の場合Dが連結でないので、AのようにDの開かつ閉集合であって、Dでも空集合でもないものが存在します。

お礼

回答ありがとうございます。
とても勉強になりました！
ありがとうございました。

回答No.3

tmppassenger

一応例を書いておくと：

D = {z ∈ C | |z| < 1 または |z| > 2} A = {z ∈ C | |z| < 1} とおくと、Aは空でなく、Dの開かつ閉集合になっていますが、D≠Aです。この場合Dは確かに連結ではありません。

お礼

何度もアドバイス頂きありがとうございます。

この例では、Aは閉になりますか？
これの前にいただいているご回答で、DにC（複素数）の位相をいれるのかな、と思うのですが、いまいちわかりません。
すみません…もう少し教えてください。

回答No.2

tmppassenger

やっぱり問題を理解してない気がする...

この問題の意図は、先程も書いたように、C（複素平面）のある勝手な部分集合Dが与えられた上で、「『Dの』開集合」とはどういう定義か？を理解しておかないと、問題の意図が理解できません。もう一度確認しますが、『Dの』開集合の定義は理解していますか？

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.1

tmpname

『Dが連結』という事実は(2)で使っていて、(1)では別に使っていません。

(1)は、単に、前提でAはDの開集合と言っているので、B=D\Aは Dの閉集合。また同様に前提でAはDの閉集合と言っているので、B=D\AはDの開集合になる、と言っているだけです。
位相空間論からすれば当たり前ですが、「Dの開集合」「Dの閉集合」というのはここではどういう定義で出発していますか？

お礼

回答ありがとうございます。
開、閉から開集合を抜いた時、閉、開になることは何となく・・・。
でもC(複素数)の中に、開かつ閉の集合なんてあるんでしょうか？