微分の問題が分かりません。

質問

見ていただきありがとうございます。

問題はこちらです…

f（x）=(2(x^2)+1){√(1+x^2)}/(1+x^2)^3

答えが分かる方解答よろしくお願いします。

回答No.5

info22

#1です。
転記ミスです。

>答えは
>x{6(x^2)+1}{√(1+x^2)}/(1+x^2)^4
マイナス符号が抜けていました。
正：-x{6(x^2)+1}{√(1+x^2)}/(1+x^2)^4

回答No.4

alice_38

√ の入った微分は気分的に嫌なものです。
x = tanθ と置いて、
dy/dx = (dy/dθ) / (dx/dθ)
て計算するのも手かもしれません。
三角関数が苦手でなければ。

回答No.3

nag0720

ykskhgakiさんの最後の式は、
dy/dz = -(1+6x^2)√(1+x^2)/2(1+x^2)^4
なので、dz/dx=2x　が抜けてますね。

y'=dy/dz*dz/dx=-(1+6x^2)√(1+x^2)/2(1+x^2)^4 * 2x
y'=-x(1+6x^2)√(1+x^2)/(1+x^2)^4

f(x)=(2x^2+1)(1+x^2)^(-5/2)
とした方が簡単かもしれません。

f'(x)=4x(1+x^2)^(-5/2)-(5/2)*2x(2x^2+1)(1+x^2)^(-7/2)
={4x(1+x^2)-5x(2x^2+1)}(1+x^2)^(-7/2)
=-x(1+6x^2)(1+x^2)^(-7/2)
=-x(1+6x^2)√(1+x^2)/(1+x^2)^4

回答No.2

ykskhgaki

info22 さんと答えが少し違っていますが、
以下のようなやり方もあります。

z = (1+x^2), y = f(z) と置く。
y = (2z-1)√z/z^3
y・z^3 = (2z-1)√z
両辺を z で微分すると、
y'z^3 + y・3z^2 = 2√z + (2z-1)/2√z
y'z^3 + 3(2z-1)√z/z = 2√z + (2z-1)/2√z
y'z^3 = 2√z + (2z-1)/2√z - 3(2z-1)√z/z
y'z^3 = 4z√z/2z + (2z-1)√z/2z - 6(2z-1)√z/2z
y'z^3 = (6z-1-12z+6)√z/2z
y' = -(6z-5)√z/2z^4
z を元に戻すと、
f'(x) = -(1+6x^2)√(1+x^2)/2(1+x^2)^4

回答No.1

info22

単に合成関数の微分を行って式を整理するだけです。
f'(x)=(2(x^2)+1)'*(1+x^2)^(-5/2)
+(2(x^2)+1)*{(1+x^2)^(-5/2)}'

微分計算はご自分でおやり下さい。
答えは
x{6(x^2)+1}{√(1+x^2)}/(1+x^2)^4
となると思います。

計算が合っているかは自分でチェックしてみてください。