微分の問題です。

質問

アークサインの微分の問題です。

問題：　f (x) = Sin^-1 1/x （アークサインX分の1） とする。　f(2) と f '(2)を求めよ。

解答は　f (2)＝π/6　f '(2)＝ -√3/6 となっていますが、解き方が分りません。

初心者なので分りやすく説明をお願いします。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

f(2)=arcsin(1/2)
これはsin(x)=1/2となる-π/2≦x≦π/2の範囲内のxを表します。

f'(1/2)を求めるにはf'(x)を計算する必要があります。
y=f(x)=arcsin(1/x)
とおくと
1/x=sin(y)
この式の両辺をxで微分すると
-1/x^2=y'*cos(y)　　→y'=-1/{x^2*cos(y)}
となります。(y'の式にyが出てきますが気にしなくてよい。)

x=2の時、y=π/6ですので
f'(2)=-1/{2^2*cos(π/6)}
となります。

お礼

参考書を片手にやっと理解できました。

ありがとうございました。

でも瞬時に解答できるのはすごいですね。

回答No.2

ykskhgaki

アークサインは sin に戻し、x, y を逆に考えて計算します。

f(x) = y = sin^-1(1/x) として、f(x) の代わりに y を用います。
アークサインの定義より、
1/x = sin(y) → sin(y) = 1/x ・・・・・ (*)

x = 2 のとき
sin(y) = 1/2 → y = π/6 = f(2)

1/x = sin(y) → x = 1/sin(y)
f'(x) = y' = 1/(dx/dy)
dx/dy = -cos(y)/sin^2(y) → dy/dx = -sin^2(y)/cos(y)
式(*) より
sin^2(y) = 1/x^2
cos(y) = √(1 - sin^2(y) = √(1 - 1/x^2) = √(x^2 - 1)/x
f'(x) = y' = (1/x^2)x/√(x^2 - 1) = -1/(x√(x^2 - 1))
f'(2) = -1/(2√3) → -√3/6

お礼

やっと理解できました。

頭悪すぎかな？

ありがとうございました。

またよろしくお願いします。