数III微分の問題について

質問

問題集を解いていて、解答が良くわからない問題がありました。

(1)logxをxの自然対数とする。
このとき、関数f(x)=logx/x(x＞0)のグラフの概形を書け。

(2)aを正の数とする。不等式ax（x:指数）≧xa(a:指数)が、x≧a
である任意のxに対して成り立つような、aの範囲を求めよ。

という問題ですが、
(2)の解答に関して、
ax(x:指数)≧xa(a:指数)⇔xloga≧alogx
a＞0、x＞0より、
logx/x≦loga/a ∴f(x)≦f(a)

x≧aとなる任意のxで、f(x)≦f(a)が成り立つのは、
(???)x≧aにおけるy=f(x)の最大値がf(a)となる場合である。

上の(???)以下の文章がよくわかりません。
わかる方、どうか教えてください。

ちなみに答えは、y=ｆ(x)のグラフから、a≧eとなります。

回答No.2

debut · ベストアンサー

ax(x:指数)は a^x と表記するといいですよ。

＞上の(???)以下の文章がよくわかりません。

（１）のグラフはかけているんでしょう？それならば、それをみながら
この文の意味を読み取ればいいでしょう。
グラフに、どこでもいいから直線ｘ＝ａを引いてみると、この直線とグラフ
の交点のｙ座標が f(a) になりますよね。
ここで、「x≧aとなる任意のxで、f(x)≦f(a)が成り立つ」ということを
みてみると、これは「いま引いたｘ＝ａの直線より右側の範囲において
グラフが f(a) の値を超えることがない」と言い換えることができます。
すると、もし直線ｘ＝ａを最大値をとるときのｘの値ｅよりも小さいところ、
つまりそれより左側に引いたときは f(a) が f(x) より小さくなる部分が
出てしまいます。直線ｘ＝ａをどんどん右側にずらしていくと、f(x)≦f(a)
が成り立つのは直線ｘ＝ａがグラフの最大の部分から右側にあるとき
でなければいけない、とわかります。
ということで、x≧aとなる任意のxで、f(x)≦f(a)が成り立つのは、f(a)が
グラフの一番高いところであること、つまりａは f(x) の最大値でなければ
ならない、ということがいえるわけです。
わかったでしょうか？

お礼

回答ありがとうございます。
なるほど～おかげさまで理解できました！！

回答No.1

R_Earl

y = -x
のグラフを紙に描いてみて下さい。
描けたらグラフの0≦xの部分を見て下さい。
この時y = -x(0≦x)の最大値は、グラフをみればx=0の部分ですね。
なので0＜xの部分のyの値は、x=0の値よりも小さいですよね？
最大値はx=0の部分なんですから。
なので
f(x) = -x
とおいた時、0≦xとなる任意のxで
f(x)≦f(0)
が成り立ってます。

今回の場合、a≦xでf(x)≦f(a)です。
これも適当なグラフを描いてみれば分かると思います。
別にf(x)=(logx)/xでなくてもいいです。
x=aという点を決めて、y = f(x)のグラフが、a＜xで、
y≦f(a)となるように描いてみて下さい。
そうすれば、どうして
『a≦xとなる任意のxで、f(x)≦f(a)が成り立つ。』
→『a≦xの範囲で、f(x)の最大値はf(a)である。』
となるのか分かると思います。

結局、f(a)が最大値でないと、f(x)≦f(a)が『常に』成り立つわけでは
なくなってしまいます。
a＜bの時、f(a)≦f(b)となってしまったら（つまりf(a)が最大値でないなら）、
f(x)≦f(a)は『常に』成り立たってはいませんよね？

補足

回答ありがとうございます！！
非常にわかりやすい説明でした！！ありがとうございました！！