微分法の問題です

質問

関数ｆ(ｘ)が次の条件を満たす時、ｆ´(ｘ)を求めよ。
〔１〕ｆ(ｘ＋ｙ)＝ｆ(ｘ）＋ｆ(ｙ)　〔２〕ｆ´(０)＝２
という問題なのですが、出だしで止まっています。というのも私は関数ｆ(ｘ)を文字で表そうと思ったのですが、この問題はｆ(ｘ)は何次関数なのか条件が与えられていません。このような場合は、どのように考えればよいのでしょうか？教えて下さい。因みに答えは２となるようです。

回答No.1

ONEONE · ベストアンサー

ｆ(ｘ＋ｙ)＝ｆ(ｘ）＋ｆ(ｙ)
⇔ｆ(ｘ＋ｙ)-ｆ(ｘ）＝ｆ(ｙ)
左辺は微分の定義式に似ているぞ、とわかります。
両辺をｙで割って[y→0]の極限をとります

まずｆ(ｘ＋ｙ)＝ｆ(ｘ）＋ｆ(ｙ)　で
ｙ＝0とおいてみると
ｆ(ｘ+０）＝ｆ(ｘ)＋ｆ(0)
∴ｆ(0)＝０

　　　　　　ｆ(ｘ＋y）－ｆ(ｘ)　　　　　　　　　　　　　　f(y)
lim[y→0]───────＝ｆ´(ｘ)＝lim[y→0]───・・・★
　　　　　　　　　　　y　　　　　　　　　　　　　　　　　ｙ
また
　　　　　　　　ｆ(0＋y）－ｆ(０)　　　　　　　ｆ(ｙ)　
lim[y→0]───────＝lim[y→0]───＝ｆ´(0)＝２・・・☆　
　　　　　　　　　ｙ　　　　　　　　　　　　　　ｙ　

☆と★よりｆ´(ｘ)＝２とわかります。
ｆ（ｘ）＝２ｘ＋Ｃ[Ｃは積分定数]
ｆ（０）＝０よりＣ=０
よってｆ（ｘ）＝２ｘ
となります。どうです？

お礼

文字式でおく事しか考えていませんでした。言われてみれば、左辺は微分の定義式に似ていますね。
分かりやすい回答、有難うございまいた。

回答No.3

shiritai

1番、2番さんのであっていると思いますが、補足と
いたしまして載せました。
（ただし、2番さんの下から2行目、「一次関数」は
　間違いです。単なる「比例」です。）

[1]の条件は、「線形性」という条件です。
　基本的には、
f(x+y)=f(x)+f(y)
f(ax)=af(x) （aは定数）
という形で現れます。　（よく高校の教科書とかで見るような形式です）

線形性、つまり「比例」ということですね。
だからaを比例定数としてf(x)=axと書けるんです。

お礼

分かりやすい説明、有難うございます。皆さんのアドバイスのお陰で答えを求められました。これからは、いろいろな視点から見て問題に取り組んでいこうと思います。

回答No.2

cherry_moon

数学の解放として正しいのか分かりませんが、
こういう解き方は駄目なんでしょうか

[1] より
y を x に置き換えてみて、
f(2x) = 2f(x)
これから x と f(x) が比例しているのが分かる。
ってことは f(x) は一次関数。
[2] から傾きが 2 だとわかる。

お礼

回答、有難うございました。