微分の問題

質問

連続な導関数を持つ関数f(x)が、全ての実数x、yについて
f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋xyが成り立っている。この時、f(０)を求めよ。

この問題で解説には全ての実数についてＯＫだから、適当に好きな数字を代入すればいいと書いてあって、作者はx＝y＝０を代入してf(０)＝０としています。私はx＝１、y＝－１を代入して計算しようと試み
ましたが、f(０)＝f(１)＋f(－１)－１となってこれ以上計算が出来ませんでした。どなたか詳しい解説解答をお願いします。

回答No.4

mister_moonlight · ベストアンサー

y＝0とすれば、おわり。

f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋xy　→　f(x)＝f(x)＋f(0)＋0　→　f(0)＝0

回答No.5

arrysthmia

解説に「適当に好きな数字を代入してよい」と書いてあるのは、
適当に好きな数字を代入しても式は成り立っている という意味であって、
適当に好きな数字を代入すれば問題の答が得られる という意味ではない。
貴方の代入 x=1, y=-1 を行うと、確かに
f(0) = f(1) + f(-1) - 1 が成立して、これは正しい式なのだが、
y = 0 を代入した場合ほど役に立つ式ではない というだけだ。
常識的には、No.4 のように解くことになろう。

問題に f の微分可能性が仮定されているので、ヘンな解法を…
f(x+y) = f(x) + f(y) +xy を y で微分したあと、y = 0 を代入すると
f ' (x) = f ' (0) + x となって、これを積分すると、
f(x) = (1/2)x^2 + Ax + B　(ただし A,B は定数) と解る。
これを最初の式に代入して、x,y について恒等式になるように
係数比較すると、B = 0 が出てくる。

回答No.3

Tacosan

私もなんでわざわざその値を選んだのかを聞きたい. そも, 解説にも本当に「適当に好きな数字を代入すればいい」って書いてあるんだろうか?
「連立方程式」までいかずとも, f(2) を f(1) の右辺に代入すれば終わりですな＞#1.

回答No.2

info22

f(0)を求めるだけの問題に
f(1)やf(-1)が出るようなx,yを与えても意味ないのでは？

回答No.1

proto

多分、
　　「適当な数字」＝「好きな数字」
ではなく
　　「適当な数字」＝「適切な数字」
という意味かと。
数学の解説中に「適当な」という言葉が出てきたときには、「適切な」とか「問題が解けるような」とかの言葉に置き換えて読んでみてください。

問題が解けるように適当なx,yを選んで代入します。
例えばx=A,y=0を代入すれば
　　f(A+0) = f(A)+f(0)+A*0
　　f(A) = f(A)+f(0)
　　f(0) = 0
がわかります。

x=1,y=-1というのは、今回の場合、あまり適当でない気がします。
ですが無理矢理、
　　f(2) = f(1)+f(1)+1
　　f(-2) = f(-1)+f(-1)+1
　　f(1) = f(2)+f(-1)-2
　　f(-1) = f(1)+f(-2)-2
という連立方程式を解いてf(1),f(-1)を求め、質問者さんの式に代入することでも求められるかも知れません。