この問題においてとてもよく疑問に思ったのです

質問

「Sを位相空間として、Mを部分集合とする。このとき
(M.).=M. (ただしM.はMの内部とする)を示せ」という問題ですが
Sを位相空間として、Mを部分集合とする。というのとMを空でない集合とする。というのとどう違いますか？
イマイチこの問題においては「Mを空でない集合とする。このとき
(M.).=M. (ただしM.はMの内部とする)を示せ。」と書いても同じなのではないかなと思います。
まず普通に(M.).=M. (ただしM.はMの内部とする)を示すに当たってもSが位相空間だとか使わないので。ぜひお願いします！

回答No.6

kabaokaba · ベストアンサー

＞しかも、Mには自然に位相が入る．ならばMを位相空間として考えれば
＞Sが関係なくなるのでは？と思ったのです。違いますか？

違います．どうちがうのかは，koko_u_uさんのご指摘通り．

あとちょいとミスリードしてしまいました．
MにSからの位相が入るのは当然なんだけども
そうなると「内部」の意味がまるでなくなるわけで．
Mはあくまでも「Sの部分集合」であることが本質ですな．
＃なんで意味がなくなるかはご自分でどうぞ．

回答No.5

koko_u_u

>Mを位相空間として考えればいいのでは？

M を位相空間と考えた場合に、「(M.).=M. 」の主張(この場合の内部は
位相空間 M の位相を考えた時のそれ)に果して意味があるのか補足にどうぞ。

回答No.4

kabaokaba

＞M.(Mの内部)というのはMに含まれる最大の開集合

Sが位相空間で，Mがその部分集合だから
Mには自然に位相が入る．
だから，Mに対して開集合だの何だのということが使えるって
ことがわからないのですか？

一般の任意の集合（位相空間じゃない）に対して
内部とか開集合って何？
ともう一度聞いてみる

補足

しかも、Mには自然に位相が入る．ならばMを位相空間として考えれば
Sが関係なくなるのでは？と思ったのです。違いますか？
いろいろと、参考書を読んだ結果少しは位相空間という意味も理解はできたのです。あまり言葉ではうまく説明はできないのですがなんとなく
位相空間と書いてあった理由も理解できました。しかし、Mを位相空間
として考えればいいのでは？と思ったのです。

回答No.3

koko_u_u

>こんなことから「Sを位相空間として、Mを部分集合とする」というのは全く使ってないことになります。

「開集合」と無条件に使っていますが、それが定まっていないと意味がないんですね。

回答No.2

kabaokaba

＞Mを空でない集合とする。このとき
＞(M.).=M. (ただしM.はMの内部とする)を示せ。

空でない単なる集合（位相はない）に対して「内部」って何？
ちなみに，この問題，
SがMの部分集合であればいいので
Mが空集合であっても成立する．
この点でも質問者の主張は間違っていたりする．

＞(M.).=M. (ただしM.はMの内部とする)を示すに当たってもSが位相空間だとか使わないので。
もし本当に使わないのであればその証明は絶対に間違ってる．
最大限好意的に解釈しても
使ってるのに使ってることに気がついてない
ということでしょう．

お礼

空であっても(M.).=M.は成り立つので、こちらから訂正をします。
すみません。ちなみにM.(Mの内部)というのはMに含まれる最大の開集合
のことをいいます。したがって、M.は開集合なので(M.).=M.が成立します。こんなことから「Sを位相空間として、Mを部分集合とする」という
のは全く使ってないことになります。今のような示し方にしてもどこが
どう使われているのですか？全く分からないです。

回答No.1

koko_u_u

>というのとMを空でない集合とする。というのとどう違いますか？

それだと、M は S とまったく関係がなく、位相すらも入っていないことになりましょう。
また、空でない、との仮定を置く理由はないと思います。