写像の一致とは？？

質問

f，gを位相空間ＳからＲへの（実数値）連続写像とする。
Ｓが距離空間と仮定して、Ｓの至るところ稠密な部分集合Ｄ上でｆとｇが一致するなら（つまりｆ｜_D＝ｇ｜_D）、ｆとｇはＳ上全体で一致する（つまり同じ写像）を示せ。また一般の位相空間に対しても成り立つことを示せ。

この問題で、写像の一致とはなにをしめせばいいか、どのように用いればいいのかわかりません。教えてください。

回答No.7

鳴瀬 美幸（@naruse） · ベストアンサー

＞基本近傍系の性質
＞V(3)：V、U∈B(a)⇒∃ｕ∈Ｂ（ａ）（ｕ⊂Ｖ∩Ｕ）
＞というのをつかって、
＞∃ｕとしてｕ∩Ａ＝φとなるｕ⊂Ｗ＝Ｕ∩Ｖ
＞となるものが取れると考えました。
間違ってはいません。それで結構です。
# 理解していることがらではなく、
# あくまでも、表記を改善すべきというのが趣旨です。

# 基本近傍系≒local base
# ですが、近傍という用語には開集合に限定して用いる
# ものと必ずしもそうであることを要求しない立場があるので、、、
# 実質的にはどうでもよいことなですが、、、

# n.n.o.＝not necessary open
# NAGATAさんの"Modern Topology"などを読むと
# g-functionを用いた距離付け定理などで頻出します。

回答No.6

鳴瀬 美幸（@naruse）

（解）
任意のａ∈（Ａの補集合）をとってくる。
# お手持ちの教科書では
# A={x|f(x)=g(x)}となっているのですよね。（笑）

f(a)≠g(a)より、Rはハウスドルフ空間より、
あるf(a),g(a)の開近傍Ｕ，Ｖが存在して、Ｕ∧Ｖ≠φ。
# f(a),g(a)のある開近傍U,Vが存在して、、、
# 自然言語（日本語）で表現する場合には、ある（＝存在する）の
# の表記上の位置を注意した方がよいと思われます。
# 数学的には本質的ではありませんが。。。

ここで、f(x),g(x)がＳ→Ｒへの連続写像より
ｆ^-1(Ｕ)、ｇ^-1(Ｖ)はｘの開近傍。
# xの開近傍ではなく、aの開近傍。

よってf^-1(Ｕ)∩g^-1(Ｖ)＝Ｗもｘの開近傍であり、
# 上記と同じ注意です。
# xの開近傍ではなく、aの開近傍。

∃ｕ：ｕ∈Ｂ(a)かつｕ∩Ａ=φ（ｕ∈Ｗ）
# B(a)は点aの(n.n.o.) local baseですよね？
# ∃ｕ：ｕ∈Ｂ(a)は問題ないのですが後半の
# ｕ∩Ａ=φ（ｕ∈Ｗ）は表記が変です。
# 単に ｕ∩Ａ=φ とするか、または not(z∈Ａ)（z∈u）などととすべき。

∴ｕ⊆（Ａの補集合）
よってＡは閉集合。

大筋では問題ないと思いますよ。(^o^)丿

補足

自分は、基本近傍系の性質、V(3)：V、U∈B(a)⇒∃ｕ∈Ｂ（ａ）（ｕ⊂Ｖ∩Ｕ）というのをつかって、∃ｕとしてｕ∩Ａ＝φとなるｕ⊂Ｗ＝Ｕ∩Ｖとなるものが取れると考えました。まちがっていませんでしょうか？

回答No.5

鳴瀬 美幸（@naruse）

ikecchiさんの納得のいかない部分を追及する姿勢はとても大切です。
その姿勢を貫くうちに（ikecchiさんとっては）"自明"と胸を張って
言える時期がくるでしょう。
(位相に関することがらはそうならなくていけない、または
そうあって欲しいと私自身は思っていますが。）
＞いきなり、Wと｛ｘ∈S：ｆ＝ｇ｝の共通部分が空だって
＞いっていいんでしょうか？
｛ｘ∈S：ｆ＝ｇ｝は正しくは｛ｘ∈S：ｆ(x)＝ｇ(x)｝なので訂正します。

確かにそうです。あえて補足すれば
W=f^{-1}(U)∩g^{-1}(V)はxの開近傍で
任意のx∈Wについて、x∈f^{-1}(U)かつx∈g^{-1}(V)であるから
f(x)∈Uかつg(x)∈V
ところで、UとVは互いに素であったから上のことは
f(x)≠g(x)を意味する。
従ってxは｛ｘ∈S：ｆ(x)＝ｇ(x)｝の要素ではあり得ません。
これは、Wと｛ｘ∈S：ｆ(x)＝ｇ(x)｝が素であることを示します。

＞最後の本質的には～からの意味もわかりません
f(x)とg(x)の互いに素な開近傍U,Vをとり、それをそれそぞれ
f,gで引き戻して議論するという論法の構造が
同じだと言う意味です。

補足

大変親切な回答ありがとうございました。友達からはそんなこともわからんと？数学辞めたらとかしょっちゅう言われたりしてます。自分は基本的なことがわかってないんでしょう。
上の回答の中のＷにおいて、自分は次のように解答しました。どうでしょうか？
（解）
　　　任意のａ∈（Ａの補集合）をとってくる。f(a)≠g(a)より、Rはハウスドルフ空間より、あるf(a),g(a)の開近傍Ｕ，Ｖが存在して、Ｕ∧Ｖ≠φ。ここで、f(x),g(x)がＳ→Ｒへの連続写像よりｆ^-1(Ｕ)、ｇ^-1(Ｖ)はｘの開近傍。よってf^-1(Ｕ)∩g^-1(Ｖ)＝Ｗもｘの開近傍であり、∃ｕ：ｕ∈Ｂ(a)かつｕ∩Ａ=φ（ｕ∈Ｗ）　　∴ｕ⊆（Ａの補集合）　　よってＡは閉集合。

回答No.4

鳴瀬 美幸（@naruse）

＞だからこの問題の途中に「一般の位相空間で｛ｘ∈Ｓ：ｆ(ｘ)=ｇ(ｘ)｝は
＞閉集合であることを示せ」という問いがあったんですかね？

断る必要もないでしょうが、一般の～といってもf:S→R、g:S→Rは
共に連続で、RはT_2空間という仮定は必要です。

で、この命題の証明ですが一つ前で述べてたことを使えば、等式
｛ｘ∈Ｓ：ｆ(ｘ)=ｇ(ｘ)｝＝h^{-1}(Δ)
が成り立って右辺が閉だから左辺も閉という論法もありますが、
直接的に示す場合には補集合が開であることを示すことになります。
x∈S-{x∈Ｓ:f(x)＝g(x)}とします。このとき、
f(x)≠g(x)だから、f(x)とg(x)のそれぞれの開近傍U,Vで
互いに交わらないものが存在する。
W=f^{-1}(U)∩g^{-1}(V)はxの開近傍で
W∩{x∈Ｓ:f(x)＝g(x)}＝φ
これより、{x∈Ｓ:f(x)＝g(x)}は閉であることが示された。

以上ですが本質的にはf＝gの証明と同じですね。（笑）

補足

>W=f^{-1}(U)∩g^{-1}(V)はxの開近傍で
>W∩{x∈Ｓ:f(x)＝g(x)}＝φ
いきなり、Wと｛ｘ∈S：ｆ＝ｇ｝の共通部分が空だっていっていいんでしょうか？すこし、納得がいかないです。
あと、最後の本質的には～からの意味もわかりません。

回答No.3

鳴瀬 美幸（@naruse）

先に直接的な証明を与えましたが、位相空間論的に重要な事実を
組み合わせた証明も紹介します。
位相空間論の基本的な事実として
(1) 空間XがHausdorff空間(=T_2空間)であるための必要十分条件は
直積空間X×Xの部分集合Δ={(x,x)|x in X}が閉集合であることである。
(2) f:X→Y,g:X→Zに対しh:X→Y×Zを
h(x)=(f(x),g(x)) for all x in X
で定義する。このとき、f,gは連続⇔hは連続。
が知られています。

これらを用いれば次のような証明も可能です。

h:X→R×Rをh(x)=(f(x),g(x))で定義するとき、(2)の事実から
hは連続である。ところで、fとgはD上で一致することから
D⊂h^{-1}(Δ)
（Δ={(x,x)|x in R}です。）

(1)からΔはR×Rの閉集合であって、hの連続性からh^{-1}(D)はSの
閉集合となる。故に、
X=Cl(D)⊂Cl(h^{-1}(Δ))=h^{-1}(Δ)
これは、任意のx in Xについて
h(x) in Δ
即ち、f(x)=g(x)が成り立つことを示している。

補足

ありがとうございました。なるほど、だからこの問題の途中に「一般の位相空間で｛ｘ∈Ｓ：ｆ(ｘ)=ｇ(ｘ)｝は閉集合であることを示せ」という問いがあったんですかね？しかし、いまいち、このとき方もわかりません。補集合が開集合を示せばいいんでしょうが。いまいち位相空間での開集合の証明の仕方がわかりません。よろしければ解説お願いします。

回答No.2

鳴瀬 美幸（@naruse）

＞＞f^{-1}(U)∩g^{-1}(V)はDと交わります。
＞この部分がいまいちわかりません。たしかに、（Dの閉包）＝Sですが、、、
Cl(D)=Sは"Sの各点はDの触点である"ことを意味します。
つまり、Sの任意の点に対し、その任意の開近傍はDと交わります。

回答No.1

鳴瀬 美幸（@naruse）

>写像の一致とはなにをしめせばいいか、
これは前の行で述べてある
>ｆとｇはＳ上全体で一致する（つまり同じ写像）を示せ。
そのものです。

Sが距離空間であるという仮定なしに一般の場合で示しましょう。
xをSの任意の点とし、示すべきことは
(*) f(x)＝g(x)
です。（xがDの点ならばfとgはD上で一致しているという仮定から
仮定から明らかのですが、xがDの点でなくても(*)が成り立つことを
示したいのです。)

背理法で示しましょう。(*)を否定して
f(x)≠g(x)
と仮定します。Rはハウスドルフ空間なので、
f(x)とg(x)のそれぞれの開近傍U,Vで互いに素なものが存在します。
（Rの距離を用いてもっと明示的に言えば、例えば
ε＝｜f(x)-g(x)｜/2として
U={p∈R:｜p-f(x)｜<ε},V={p∈R:｜p-g(x)｜<ε}
とすればU,Vはそれぞれf(x)とg(x)の開近傍で
互いに素、即ち、U∩V＝φを満たします。）

さて、Uをfで、Vをgで引き戻しましょう。
f,gは連続なので、f^{-1}(U),g^{-1}(V)はともに
xの開近傍になります。従って、その共通部分f^{-1}(U)∩g^{-1}(V)も
xの開近傍になります。
このとき、仮定：DはSの至るところ稠密な部分集合なので
f^{-1}(U)∩g^{-1}(V)はDと交わります。
その共通部分にある点をyとしましょう。
y∈Dなので、f(y)＝g(y)ですが、一方
y∈f^{-1}(U)∩g^{-1}(V)なので、f(y)∈U,g(y)∈Vであって
UとVは互いに素なので、f(y)≠g(y)でなければなりません。
これは明らかな矛盾なので(*)が示されました。

補足

＞このとき、仮定：DはSの至るところ稠密な部分集合なので
＞f^{-1}(U)∩g^{-1}(V)はDと交わります。
この部分がいまいちわかりません。たしかに、（Dの閉包）＝Sですが、なぜ任意のＳの点ｘの開近傍がＤと交わるんでしょうか？