位相についての質問２（初歩）

質問

先日、位相に関する初歩的な質問をして有益な回答を得ました。
その続きの質問です。

実数全体をSとして、次の位相を与えます。
O={ S,φ,[0, 1] }
この場合、Oの元 [0, 1]は "開集合"である、とのことでした。

(1)この位相で (0, 1) は開集合なのでしょうか？

(2)この位相で [1/2, 3/2] や [10, 100]や { 3 } は開集合なのでしょうか、閉集合なのでしょうか?

(3)密着位相 O={S, φ} で [0, 1]は開集合なのでしょうか、閉集合なのでしょうか？

ある集合に異なる位相を入れた場合に、何が変わるのか、、、そこのところを捉えられたらきっと位相が何たるかが腹に落ちるのではないかと思いこのような質問をしました

よろしくお願いします。

回答No.1

ask-it-aurora · ベストアンサー

どうも前の質問と合わせて見るに開集合や閉集合が何なのか理解していないように思います．

まず開集合とは位相の要素のことです．また閉集合とは補集合が開集合である要素のことです．

なので開集合とか閉集合とか言う場合は常に位相を指定しなければ，その文は意味を持ちません．実数全体からなる集合の（暗黙理に与えられることの多い）「ふつう」の位相Tは次のようなものです：
T = {S, ∅} ∪ { (a_1, b_1) ∪ … ∪ (a_n, b_n) | n : 自然数, a_i, b_i ∈ S ∪ {±∞} }．
ここで(a, b) = { x ∈ S | a < x < b } のことです．

したがって位相が違えば（つまり何を開集合とするかの規則を変われば）開集合が変わるのは当然です．そこで質問への回答は次のようになります：

(1) 開集合ではありません．なぜなら位相の要素でないから．

(2)上に同じ．また閉集合でもありません．なぜなら(Sにおける)補集合もやはり位相の要素でないからです．

(3)開集合でも閉集合でもありません．（注意：開集合と閉集合は互いの否定概念では*ありません*！）なぜなら[0, 1]もその補集合も位相の要素でないからです．

お礼

回答ありがとうございます。

>>どうも前の質問と合わせて見るに開集合や閉集合が何なのか理解していないように思います

ここですね、問題は。。。
位相がどうのと意識する前に、[0,1]だの(0,2)といった通常の区間をもって開集合、閉集合というものだというイメージから離れられないようです。

もっと用語の定義をしかっり学びたいと思います。

ありがとうございました。