ポアソン括弧式

質問

久保謙一著解析力学 p84 の議論がよくわかりません。
母関数W=W(q_i, Q_i, t) の場合を考えて、(4.35)式が
出発点です。最終的に求めたいのが(4.38)式なのですが、
(4.37)式を(4.35)式に代入しても決して(4.38)には
なりません。

(4.37)式の計算が何か変な気がしてはいますが、
それでも(4.37)の結果がマイナスではなく、プラスの∂Q_i/∂t
になるかというと、それもよくわかりません。

よろしくお願いします。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

個人的にはその辺りは誤植だと思っています。

例えば、(4.36)式の真ん中の辺(テキストでは１行目右辺)の∂W/∂p_kに関してですが、この偏微分は
q_1,・・・,q_N
p_1,・・・,p_(k-1),p_(k+1),・・・,p_N
t
これら2N個の変数を固定してp_kについて微分するものですが、
W=W(q,Q(q,p,t),t)
はp_kを含んでいますので、∂W/∂p_kは一般にはゼロにならないはずです。

とは言え、「どの変数を固定した偏微分を考えているのか」という事を正しく考えて計算しても(4.37)式と同様の式：
[Q_i,(∂W/∂t)_(qQ)] ＝ -Σ(∂Qi/∂pk)_(qp) (∂pk/∂t)_(qQ)
が得られます。
(∂Qi/∂pk)_(qp)のqpのような偏微分に付けた添え字は変数q,pたちを固定して(pkで微分している場合はpk以外を固定して)微分するというつもりで書いています。

さらにQ_i=Q_i(q,p,t)=Q_i(q,p(q,Q,t),t)
の両辺を、qたちとQたち(Q_iも含む)を固定してtで偏微分したものを考えれば、
[Q_i,(∂W/∂t)_(qQ)] ＝ -Σ(∂Qi/∂pk)_(qp) (∂pk/∂t)_(qQ) ＝ +(∂Qi/∂t)_(qp)
である事が分ります。(最右辺に負符号は付きません)

※なお、昔計算した時に自分で書いたメモを参考に書いていますので、細かい計算は覚えていない部分がほとんどです。また、この計算が正しいのかどうかも分らないので参考程度と思って下さい。

補足

どうもありがとうございます。
必ずしも偏微分に熟知しているわけでもないので、悩んでおりました。
かなり理解が微妙なのですけど、、、
一般に(∂W/∂t) はpk にもよるのでpkで偏微分しても０にはならなくても、
(∂W/∂t)_(qQ)　のようにqQを固定すればpk で偏微分すると０になると
いうことでしょうか？
そして、

Qi=Qi(q,p,t)=Qi(q,p(q,Q,t),t)

をtで偏微分すると、左辺はそもそもQi を固定するので０。
そして右辺は

(∂Qi(q,p(q,Q,t),t)/∂t)_(qQ) = Σ (∂Qi(q,p,t)/∂pk)_(qp)(∂pk/∂t)_(qQ) + (∂Qi(q,p,t)/∂t)_(qp)

という感じでしょうか？
あまりに酷かったらダメだししてください（笑）
よろしくお願いしますm(..)m

回答No.3

eatern27

それでいいと思います。

補足

どうもありがとうございますm(..)m
沢山のヒントを頂かなければ決してわかりませんでした。
これでようやく次に進むことが出来ます。

この本、ほんとうにわかりやすくて
解析力学のなんたるかがようやくわかってきたのですが、
p84のような箇所があるとちょっと残念です。
それでも素晴らしい本には違いないですね。

どうもありがとうございました。

回答No.2

eatern27

>(∂W/∂t)_(qQ)　のようにqQを固定すればpk で偏微分すると０になると

qQを固定して得られた導関数をpkで偏微分すると0になると思った理由は何でしょうか？

私が言いたかったのは
pkで偏微分する時には、qQたちではなく#1に書いた変数たちを固定しているわけで、Qは必ずしも固定されてはいません。そうすると、W(or ∂W/∂t)をq,Q,tの関数として最初に書いていてpkを含んでないからと言って、pkで偏微分したものは一般にはゼロにはならないはずだ
ということです。

後半はそれでOKだと思います。

補足

どうもありがとうございます。
計算前の第一項をそのまま０にすることばかり考えてしまいました。やはり間違いですね。。。orz
もう一度考え直しました。

(∂W/∂t)_(qQ) はq,Q,t の関数なのでそれを F(q,Q,t) と書く事にする。
すると求める式は

[Qi, F] ＝ Σk (∂Qi/∂qk)(∂F/∂pk) - Σk(∂Qi/∂pk)(∂F/∂qk)

である。ここで
(∂F/∂pk)_(qQ) = Σm ((∂F/∂Qm)_(qQ)(∂Qm/∂pk)_(qp) + (∂F/∂qm)_(qQ)(∂qm/∂pk)_(qp))
= Σm (∂F/∂Qm)_(qQ)(∂Qm/∂pk)_(qp)

(∂F/∂qk)_(qQ) =Σm((∂F/∂Qm)_(qQ)(∂Qm/∂qk)_(qp) + (∂F/∂qm)_(qQ)(∂qm/∂qk)_(qp))
=Σm (∂F/∂Qm)_(qQ)(∂Qm/∂qk)_(qp) + (∂F/∂qk)_(qQ)

これと[Qi, Qm] = 0 を使うと

[Qi, F] ＝ Σk (∂Qi/∂qk)_(qp)(∂F/∂pk)_(qQ) - Σk(∂Qi/∂pk)_(qp)(∂F/∂qk)_(qQ)
= Σm (∂F/∂Qm)_(qQ)[Qi, Qm] - Σk (∂Qi/∂pk)_(qp)(∂F/∂qk)_(qQ)
= - Σk (∂Qi/∂pk)_(qp)(∂F/∂qk)_(qQ)

これで一応(4.36)式が出て来たのですが、なかなか確信が持てません。。。
よろしくお願いします。