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バネと微分方程式の問題 - 初期条件から解の求め方を教えてください
- 大学１年の物理演習で、微分方程式を扱っている際に分からない部分があります。問題は、自然長ｌとばね定数ｋの二本のバネと質量ｍのおもりを用いた装置において、おもりの位置ｘを求めるというものです。具体的な解法について教えてください。
- おもりを引き上げる速度ｖでの運動方程式が与えられており、それを解く必要があります。運動方程式は mx' = k(y-2x) で与えられます。この式を整理して解く手順について説明してください。
- 解きたい運動方程式は x'' + (2k/m)x = (kv/m)t という形になります。この式を解くためには、まず右辺が0のときの解と右辺が0でないときの解を求める必要があります。それぞれの解の求め方について教えてください。
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補足読みました。 ＞x(0)=0,y(0)=0 であり、質問にあるような運動方程式に行き着きました。 おそらくそう取ったのだろうなぁ・・・とは思っていました＾＾； 明らかに、ｘとｙの初期位置は異なるので、”同じ運動方程式”にｘとｙを含めるときは同じ座標系で記述しないとややこしいことになります（というか、解くのは無理でしょう）。 また、原点の取り方自体には触れられていないため、回答者が任意に決められるようになっていると思います。 ＞ x'(0)はおもりの初速ということですよね？ そうです。 この場合、おもり自体は最初止まっていたので、 x'(0)=0 となります。 では頑張って下さいね＾＾；
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- ryumu
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ikeshiさんの回答をみたところ、座標の取り方に問題があると思います。 また重力の効果が抜けています。 ｔ＝０のときの、ｘ、ｙの初期値をまず知りましょう。 そのためには、座標系を決める必要があります（ここ大事です！！） ”地面を基準０”に決め、上を正としましょう。 すると、ｔ＝０のとき、ｘ＝ｌですね（バネ１が自然長だから）。 ｘ（０）＝ｌ 次にｙの初期値、ｙ0を検討しましょう。 重力加速度をｇとします。 バネ１が自然長ｌの状態ですから、おもりに対してバネ１の力は働いていません。 従っておもりｍは、バネ２のみで吊られているとおなじなので、運動方程式（ただし加速度０）より ０＝ｋ（ｙ0-２ｌ）-ｍｇ つまり、 ｙ（０）＝ｙ0=ｍｇ/ｋ＋２ｌ となります。 従って、時間ｔ後のｙは、 ｙ＝ｖｔ＋ｙ0＝ｖｔ＋ｍｇ/ｋ＋２ｌ となります。 さて、実際に手で引っ張ったときのおもりの運動方程式は、 ｍｘ”＝ｋ（ｙ-ｘ-ｌ）-ｋ（ｘ-ｌ）-ｍｇ となります。 あとは、この方程式を解きｘ（０）、ｘ’（０）から積分定数が得られるはずです。 計算は・・・ちょっと面倒ですね＾＾； 細かいところは間違っているかも知れませんが、考え方はこれで良いはずです。 頑張って下さい。
補足
早速の回答、ありがとうございます。 言葉足らずで申し訳ないのですが、 問題文の条件が「ｘ・ｙはそれぞれの初期位置を基準にとる」 となっているので… x(0)=0,y(0)=0 であり、質問にあるような運動方程式に行き着きました。 そこで、積分定数なのですが… ＞あとは、この方程式を解きｘ（０）、ｘ’（０）から積分定数が得られるはずです。 これをヒントに、x(0)から、B=(2k/m)^(1/2)が得られました。 しかしＡが求められません…。 x'(0)はおもりの初速ということですよね？ 初速はどうなるのかが分からないのです。
お礼
原点をおもりの初期位置にしてみたところ、（Ｘ=l+(mg/k)+vt） 結局運動方程式は同じになってしまいましたが… でも、x'(0)=0をヒントに定数が求められました！（おもりは突然動き出すわけじゃないんですよね） 結果は、 x(t)=(t-(m/2k)^(1/2)sin{(2k/m)^(1/2)}t)v/2 となりました。分かりにくい式でごめんなさい。 これなら、おもりがはじめに沈み込むこともないし、とりあえずは辻褄が合ったと思います。 ありがとうございました。