物理のばねの問題です

質問

質量m のおもりが上端を天井に固定されたばね定数k の軽いばねの下端に取り付けられて鉛直線上で振動している．ばねはフックの法則に従うものとし，重力加速度の大きさをg とする．ばねの自然の長さを原点として鉛直上向きにx 軸をとる
（１） おもりの運動方程式を書きなさい
（２）（１）の運動方程式（微分方程式）の一般解を求めよ
（３） おもりはどのような運動をするか説明しなさい

なんですが解き方と答えを教えてください！お願いします

回答No.2

trokky

回答NO.1の者です。
おっしゃる通り、わたしが間違えておりました。申し訳ないです。

おもりがばねとつりあう位置は -kx + -mg = 0 つまり x = -mg/k
X = x + mg/k

として計算するのが正しいですので、変換してほしいです・・・
本当にすみませんでした。

回答No.1

trokky

以下、X = (x - mg/k), d/dt = D
空気抵抗とかは無視

(1)
ニュートンの運動方程式より
m*D^2(X) = -k*X　(a)
Xにxの式を代入、変形して、m*D^2(x) + k*x -m*g = 0

(2)
(a)式を変形して
D^2(X) = -(k/m)*X
これは関数Xが2回微分すると元の関数Xに戻り符号が変わって、定数がかけられていると考えられ、そのような性質を持つ関数としてsinを考える。
X = A*sin(w*t + th)と置いて(a)式に代入すると　（A,thは任意の定数,w>0）
-(w^2)*A*sin(w*t + th) = -(k/m)*A*sin(w*t + th)
これは恒等式なのでsin(w*t + th)の係数を比較して、
w=√(k/m)
よってX = A*sin{(√(k/m))*t + th}
xの式に直して、x = A*sin{(√(k/m))*t + th} + m*g/k　(b)

(3)t=0おもりをばねにつるしたときに静止する位置(kx = mg)を鉛直上向きに速度vで通り過ぎるように運動させた場合（その後は放置）を考えると
t = 0, x = mg/k, Dx = v を(b)式、(b)式を微分した式に代入して変形して、
A*sin(th) = 0　((b)式に代入)
v = A*w*cos(th)　((b)式を微分した式に代入)
((b)式)より th = 0　(A=0の時は恒等的にv=0となり不適)
これを((b)式を微分した式)に代入して、A = v/w
よってこの時おもりは [x = (v/w)*sin(w*t) +m*g/k] の運動をしている。
Xの式に直すと、[X = (v/w)*sin(w*t)]となり、これは単振動の式の形である。
つまり、このおもりは x = mg/k を中心とする単振動をし、その振幅は加えた力による振動中心の速度に比例して大きくなる。

大体こんな感じで大丈夫だと思います。

お礼

回答ありがとうございます

(1)はm*D^2(x) + k*x ＋m*g = 0ではないんじゃないですか？