偏微分方程式を変数分離で解きたいんですが・・

質問

次の偏微分方程式を解きます。

　　∂/∂x{e^ax・e^by・∂T(x,y)/∂x}+∂/∂y{e^ax・e^by・∂T(x,y)/∂y}=0

変数分離T(x,y)=X(x)・Y(y)を導入すると

　　{∂^2X(x)/∂x^2+a∂X(x)/∂x}/X(x)+{∂^2Y(y)/∂y^2+b∂Y(y)/∂y}/Y(y)=0

このような式が得られました。第一項と第二項をそれぞれ次のような定数とおきます

　　{∂^2X(x)/∂x^2+a∂X(x)/∂x}/X(x)=-{∂^2Y(y)/∂y^2+b∂Y(y)/∂y}/Y(y)=-k^2（負）,0,k^2（正）―(1)

(1)式の右辺が-k^2の場合について考えます。X(x)について次の式が成り立ちます。

　　∂^2X(x)/∂x^2+a∂X(x)/∂x+k^2・X=0　―(2)

これは定数係数微分方程式なので判別式D=a^2-4k^2によって解が異なる。

ここで質問なんですが(2)式の解X(x)をどのように表したらいいのでしょうか？場合わけを一つの式で表現する方法がよくわからないんです。

回答No.1

pascal3141

∂^2X(x)/∂x^2+a∂X(x)/∂x+k^2・X=0　―(2)
より、X=Aexp(λx)とおくと、λ^2+aλ+k^2=0がでてくるので
λ=(-a±√Ｄ)/2（ただしD=a^2-4k^2）=α、βとできる。
よって
X=Aexp(αx)+Bexp(βx)が一般解となる。
D=a^2-4k^2の値で、α、βは実数・虚数になるだけで、上記の式で書ける。