バネの微分方程式を解く問題。

質問

大学の物理の問題です。
途中まで解けたのですが、３番目の設問がわからず解けません。教えてください。
問題は次の通りです。

バネが垂直に垂れていて、その先端に質量ｍの物体がついています。バネの強さはｋ、重力定数をｇとし、ｚ軸を下向きにとり、物体の位置の座標をｚとして次の問題に答えてください。

（１）物体ｍの運動方程式を書く。
（２）この運動方程式は z=y+aと置き換えることにより、ｙに対する簡単な方程式になることを示す。このときのａはいくらか。

解）z=a は重りのない場合の平衡点。
　　重りをつけた時、釣り合いの状態は平衡点からａだけ下がっているとする。

　　z=a の時、mg=ak
　　よって、a=mg/k
　　ここで、運動方程式は　m(d^2z/dt^2)=-kz+mg=-kz+ak=-k(z-a)
　　z=y+a すなわち z-a=y と置き換えると　m{d^2(y+a)/dt^2}=-kz

（３）ｙの微分方程式を解き、ｙを求める。ただし、初期値として、t=0 で y=b, dy/dt=0 とする。

この解がわかりません。教えてください。お願いします。

回答No.2

Umada · ベストアンサー

kyon1110さんこんにちは、先日のMOとVBのご質問以来ですね。

物体の運動方程式は、zの原点をばねの自然長にとるとして
m(d^2 z/dt^2)=-kz+mg　　　(1)
ですよね。これをz=y+(mg/k)とおくことで(1)は
m(d^2 y/dt^2)=-ky　　　(2)
となります。これが解くべき方程式です。
(mg/k)=aは定数ですから、その導関数(2次導関数も)はゼロであることに注意してください。すなわちm(d^2 (y+a)/dt^2)=m(d^2 y/dt^2)ということです。(2)ではそれを利用して左辺をm(d^2 y/dt^2)に直しています。

方程式(2)について、線形微分方程式の理論(特性方程式による方法)を既に習っていれば、直ちに解は
z=Ca sin(√(k/m)t) +Cb cos(√(k/m)t)　　　(3)
と求めることができ、あとは初期条件からCaとCbを決定すれば解決します(Ca, Cbは積分定数。他の表現もあります)。keyguyさんのおっしゃるように、Laplace変換でも演算子法でも、何でも解くことができます。

線形微分方程式の理論を使わず、愚直に微分方程式を解くのであれば次のようにやります。
まず　m(d^2 y/dt^2) = -ky　の両辺にdy/dtをかけます。
m(d^2 y/dt^2) (dy/dt)= -k y(dy/dt)　　　(4)
積の導関数の公式((y^2)'=2y y')を逆に使い、両辺を積分すると
m(dy/dt)^2 = -k y^2 +C1　←C1は積分定数
となります。これを以下のように変形します。
dy/dt=±√{(C1-k y^2 )/m}　　　(5)
±が出てきてちょっと厄介そうに見えますが、後で解決しますからそのまま先に進みます。
y=√(C1/k) sinθと変数を変換すると
dy/dt = ±√(C1/m) √(1-sin^2 θ)　　(6)
を経て
√(C1/k) cosθ dθ = ±√(C1/m) cosθ dt　　(7)
と変形でき、両辺を積分することで
√(m/k) θ= ±t+C2　　(8)　←C2は積分定数
を得ます。yの表式に戻すと
y=√(C1/k) sin(±√{(k/m)(t+C2)}　　(9)
となります。ずいぶんとごちゃごちゃした式ですが、三角関数の合成の公式と、sin(-θ)= -sinθ、cos(-θ)= cosθの公式を使うと、本質的には(3)式、すなわち
y=Ca sin(√(k/m)t) +Cb cos(√(k/m)t)　　　(3)
に帰着します。
Ca、Cbを決めるのには初期条件を使います。即ちt=0でy=bですからCb＝b、t=0で(dy/dt)=0ですからCa=0と分かります。よって最終的な答えは
y= b cos(√(k/m)t)　　(10)
zの式に直すなら
z= b cos(√(k/m)t)+(mg/k)　　(11)
ということになるかと思います。

考え方は上記でよいはずですが中間で計算ミスがあるかも知れませんので、kyon1110さんご自身でも確認しながら読んで頂けると幸いです。

お礼

MO法とVB法の時には大変お世話になりました。あの後、Umadaさんのご回答を参考にしてレポートを提出したところ、内容を教授にほめられました。Umadaさんのおかげです。どうにかお礼をしたいなぁと思っていて、今回もご回答していただいてとてもうれしいです。
前回に引き続いて詳しい説明を本当にありがとうございます。勉強になります。

回答No.1

keyguy

解き方：
（１）ラプラス変換による方法
（２）ヘビサイドの記号（Ｄ）による方法
（３）特性方程式による方法

どれをお好みですか？