ばね

質問

大学１年の力学のばねのもんだいです。

しぜんちょうLバネ定数ｋのばねに質量ｍのおもりをつけてつるし、
ばねの上端をasinωtのように振動させた。
下向きにｘ軸ｔ=0での上端の位置を原点にとり、
おもりのｘ座標として運動方程式を書き、解をもとめよ

なんですが。参考書等みても上端を固定してある場合が多く
この問題の解き方考え方がわかりません。

どなたかアドバイスおねがいします！！

回答No.1

noname#40706 · ベストアンサー

あなたがどこまでかんがえてどこまでわからないのかがわたしにはわかりませんが・・・・

まずは：おもりにはたらく力をきちんとあらわす。

つぎに：運動方程式を作る、

そして：それを頑張って解く。

これが定番の流れなのではないのですか。

まず、
　　　　　↓指
｜－－－－｜～～～～～～～～～●

←asinωt →←　Ｌ　 →←　ｂ →

←　　　　　　Ｘ　　　　　　 →

Ｌ：自然長、ｂ：ばねののび

おもりにはたらく力は

ｍｇ－ｋｂ。　　ｂ＝Ｘ－（asinωt＋Ｌ）

つぎに、運動方程式

ｍａ＝ｍｇ－ｋ（Ｘ－（asinωt＋Ｌ））

ａ、Ｘはｔの式、ａはＸの２階微分、

そして・・・・上の式を微分方程式として解けばいい。

ここからさきはわたしはわかりませんだいがくせいならばわかるでしょうということではないですか。

補足

微分方程式の解き方が分からないんですが、
どのように解くのですか？

回答No.2

Mr_Holland

＃１のhata3955jさんが丁寧に図を描いて、運動方程式まで導いてくれましたが、この運動方程式は、実はバネの上端を天井に固定して、おもりに周期的な力ka・sin(ωt)を加えて強制振動させたときの運動方程式と同じものになっています。
　これなら、お持ちの参考書などに載っているのではありませんか。

＞微分方程式の解き方が分からないんですが、どのように解くのですか？

　この運動方程式から得られる2階非同次線形微分方程式の解き方が分からないようですので、概略をお伝えします。
　運動方程式から次の形に整理します。（ヒント：Xをx＝X-mg/k-Lに変数変換し、ω0＝√(k/m)とおく。）
　　d^2 x/dx^2+ω0^2・x＝ka/m・sin(ωt)　　・・・・・☆
　この微分方程式は非同次だが、解き方は
１）右辺を０とおいたときの同次微分方程式の一般解を求める。
２）非同次方程式の特解を見つけ出す。
３）非同次方程式の一般解は１）の一般解に２）の特解を加えたものなので、これを作る。
４）初期条件から定数を決定する。

　これらを順に実行していきます。（詳しくは微分方程式の参考書を見て下さい。）

１）同次方程式の一般解：　x＝A・sin(ω0・t+α)。
２）非同次方程式の特解：　x＝B・sin(ωt)と置いて非同次方程式(☆)に入れてみる。　⇒B＝1/(ω0^2-ω^2)・ka/m　故に、特解はx＝1/(ω0^2-ω^2)・ka/m・sin(ωt)。
３）非同次方程式の一般解：　x＝A・sin(ω0・t+α)＋1/(ω0^2-ω^2)・ka/m・sin(ωt)。
４）初期条件t=0のとき、おもりは釣り合いの位置にあるから、x(0)=mg/k+L。これを３）の一般解に代入すると、mg/k+L＝A・sin(α)。
　また、初期条件t=0のとき、おもりは静止していたはずだから、x'(0)=0。これを３）の一般解を時間微分したものに代入すると、0＝Aω0・cos(α)+ω/(ω0^2-ω^2)・ka/m。
　あとは、この2つを連立して、Aとtan(α)の値を決めれば終わりです。