幾何学の問題(3)

質問

幾何学の問題が解けなくて困っています。

Q.図の集合はマトリックスの乗法に関して群であるかどうかを示せ。

解説・解答よろしくおねがいします！

回答No.4

Tacosan

答えだけいうと群です... あることに気付けば一瞬でわかりますが.

回答No.3

R_Earl

図の行列を左からA, B, C, Dと置きます。
他の回答者の方々が仰るように、やることは
「A, B, C, Dと行列のかけ算」が群の定義を満たすかどうかを調べるだけです。

[1] 閉じているかどうかの確認
次の行列のかけ算をして下さい。

(1) AA
(2) AB
(3) AC
(4) AD
(5) BA
(6) BB
(7) BC
(8) BD
(9) CA
(10) CB
(11) CC
(12) CD
(13) DA
(14) DB
(15) DC
(16) DD

この計算をすると、答えがA, B, C, Dと一致するケースが存在します
(たとえば(6)の計算結果はAになります)。
(1) ～ (16)の計算結果がA, B, C, Dの4種類だけなら、群である可能性があります。
逆に(1) ～ (16)の計算結果の中にたった1個でも
「A, B, C, Dのどれでもない行列」があったら、群ではありません。

[2] 結合法則が成り立つかどうか
行列X, Y, Z（ただしX, Y, ZはA, B, C, Dのどれか）に対し
X(YZ) = (XY)Z
が「常に」成り立つかどうかを示して下さい。
つまり

(1) A(AA) = (AA)A
(2) A(AB) = (AA)B
・
・
・
(64) D(DD) = (DD)D

の64個の等式が満たされるかどうかを確かめてください。
64個の等式全てが満たされるなら群である可能性があります。
1個でも等式が成り立たないなら(例えばB(DA) ≠ (BD)A等)、群ではありません。

[3] 単位元が存在するか

IA = AI = A
IB = BI = B
IC = CI = C
ID = DI = D

となる行列I（ただしIはA, B, C, Dのどれか）を探して下さい。
Iが存在すれば群である可能性があります。
Iが存在しなければ、群ではありません。

[4] A, B, C, Dに逆元が存在するか

AA' = A'A = I
BB' = B'B = I
CC' = C'C = I
DD' = D'D = I

となる行列A', B', C', D'が存在することを示して下さい
(ただしA', B', C', D'はA, B, C, Dのどれか)。
A', B', C', D'のうち、1個でも存在しないものがあるなら群ではありません。
[1] ～ [4]全ての条件を満たすなら、群であるといえます。

参考URL：

http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/GroupAxiom/

お礼

丁寧にありがとうございます！

回答No.2

Tacosan

これのどこが「幾何学」なんだろう.
「群であるかどうかを示せ」ってことだから, 群の定義を満たすかどうか調べるだけ.

お礼

あざっす！

回答No.1

noname#108210

まず，４×４の表を作りマトリックスの乗法を行いましょう．
次に，「群」について調べましょう．そうすれば分かります．

お礼

ありがとうございます！