幾何学の問題です。

質問

幾何学の問題が解けなくて困っています。
わかりやすく解説していただけると助かります。

Ｘを位相空間、
～をＸにおける同値関係とする。
ｆ:Ｘ→Ｚが商写像で
ｘ～ｘ'⇔ｆ(ｘ)＝ｆ(ｘ')
をみたすならば、
商空間Ｘ/～ とＺは同相になることを示せ。

という問題です。
どなたかよろしくお願いします。

回答No.1

muturajcp

x∈Xに対してxの同値類を
(x)={x'∈X|x'～x}
とする
(x')=(x)→x'～x→f(x')=f(x)だから
g:X/～→Z,g((x))=f(x)
とgを定義できる
y∈Zに対して
fは全射だから
y=f(x)となるx∈Xがあり
y=g((x))だから
gも全射

x,x'∈X,g((x))=g((x'))とすると
f(x)=g((x))=g((x'))=f(x')→x'～x→(x')=(x)
→gは単射→gは全単射

π:X→X/～,π(x)=(x)
とすると
g○π=f
fは連続だから
V開⊂Zに対して
π^{-1}(g^{-1}(V))=f^{-1}(V)開
だから商位相の定義から
g^{-1}(V)は開⊂X/～となる
→gは連続

Uを開⊂X/～とすると
π^{-1}(U)は開で
fは開写像だから
g(U)=f(π^{-1}(U))は開⊂Z
→g^{-1}は連続
→gは全単射連続開同相写像
→X/～=(同相)=Z