幾何学の問題について教えてください。

質問

大学の数学の問題で解けずに困っております。
恐れ入りますがご教示の程、よろしくお願いします。

[1]
｛0,1｝の無限列全体の集合をXとする。すなわち集合族｛An=｛0,1｝:n∊N｝とおくとき
X=Π｛An:n∊N｝=｛a1,a2,・・・,an,・・・｝:ai=0,1 (i∊N)とする。
カントールの対角線論法とよばれる方法でN0<|X| を証明せよ。
(注)3行目のN0はアレフゼロです。

これは以下問題の類題だと思いますが、和集合が積集合になった場合どうなるのかサッパリわかりません。。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1459828819

[2]集合Xから集合Xへの全射が存在するならば、|X|≧|Y|が成り立つことを証明せよ。

2問とも基本的な問題かもしれませんが、教科書をじっくり読んでも解法がわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.8

Caper

● ANo.1 のお礼において、|X|, |Y| はそれぞれ 集合X の濃度、集合Y の濃度を示すと、kazuhide000 さん は記述されました。
　 手元にある数学書をめくって、濃度についての説明を私は読んでいくうちに、ANo.5 の証明は不十分であるかもしれないと思うようになりました。といいますのは、無限集合を意識した証明になっていないからです。
　 ですから、ANo.5 の証明を次のとおりに変更させてください。

● 背理法によって、証明します。

　「 集合X から 集合Y への全射が存在し 」なおかつ「 集合X の濃度は 集合Y の濃度よりも小さい 」と仮定します。

　 存在する全射を f と表わすことにし、集合Y の任意の要素を y と表わすことにします。このとき、各 y に対して、y = f(x) を満たす 集合X の 要素x が少なくとも 1つ 存在します。換言すれば、f による各 y の 逆像 ( もしくは原像 ) f^(-1)(y) が空集合ではないということになります。

　 集合Y の任意の 要素y の f による 逆像 f^(-1)(y) が空集合ではないわけですから、( 選出公理により、) 各f^(-1)(y) から 1つ ずつ要素を選出することができます。選出されるそれらの要素はすべて異なる必要があります。
　 といいますのは、選出される要素の中に同一のものが含まれるとすれば、その同一の要素の f による像が複数存在することになり、f が写像であるという仮定に反してしまうからです。

　 ところが、選出される要素がすべて異なれば、「 集合Y から 集合X への単射 」が存在することになります。濃度の定義より、このとき、集合X の濃度は 集合Y の濃度以上になります。よって、集合X の濃度は 集合Y の濃度よりも小さいという仮定に反します。

　 よって、上記の仮定からは矛盾が導かれます。

● ANo.2 における Tacosan さん のもう 1つ のご指摘について。

　 Tacosan さん は「 Y はどこ ? 」とおっしゃいました。おそらく、これは kazuhide000 さん が提示なさいましたご質問の文章内における「 [2] 集合X から 集合X への全射が存在するならば 」という個所についてのご指摘でしょう。すなわち、「 [2] 集合X から 集合Y への全射が存在するならば 」とすべきではないでしょうかということです。

● [1] の答案については、わかれば後日投稿します。

　 これまでの記述にまちがいがあった場合は、ひらにごめんなさい。

回答No.7

Caper

● まず、[1] について。

　 ANo.2 において、Tacosan さん がご指摘になっている点について、せんえつながら、私は触れてみます。

　 ∩ と Π との解釈をめぐってゆきちがいが生じているようですね。まず、次の Web ページ をごらんください。( ちなみに、次の Web ページ のほんの一部しか私は理解していません )

　 ∩ 積集合
　 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A9%8D%E9%9B%86%E5%90%88

　 一方、Π についてですが、数学書によって、説明のしかたに幅があるようです ( 本質的には同義なのでしょう )。「 直積 」を示す記号であると、私は認識しています。
　 ANo.5 で私が添付した画像の中にも Π という記号が登場します。松坂和夫 著「 集合・位相入門 」( 岩波書店 1983年 第 17 刷 ) では、この Π を「 写像の集合 」を示す際に用いる記号と説明し、「 ( 集合族の ) 直積 」という日本語の表現があてられています。やっかいなことに、「 ( 集合族の ) 積 」という日本語の表現も良しとされています。( 詳細については、この数学書を直接お読みください。詳細について正確に伝えるという能力を私は備えていません )

　 そんな事情を踏まえた上で、次の Web ページ をごらください。Π は集合を示す際に用いる記号であると、説明しているようです。( 次の Web ページ のほんの一部しか私は理解していません )

　 Π 直積集合
　 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E7%A9%8D%E9%9B%86%E5%90%88

　 そこで、Tacosan さん のご指摘が何を意味するのかについて、私は次のように推測してみました。

　「 どの記号が和集合を示すものとして用いられていて、どの記号が積集合を示すものとして用いられているのでしょうか。また、Π は何を示しているのでしょうか 」

● ANo.5 における証明についてですが、少し改めさせてください。無限集合を意識した表現に変更したいと思いますので。後日、投稿します。わがままを申し上げて、ごめんなさい。

回答No.6

B-juggler

Ｎｏ．１　です。こんばんは。

濃度・・・。

マニュアル化されてしまっているかもね。

数学には柔軟性が必要ですよ♪

｜Ｘ｜　ベクトル　だったら、ノルムだし。
数値だったら　絶対値　だね。

濃度　ってこの場合は（集合の話しね）　どうなるんだろう？

通常、濃度　と言うのは　「食塩水の濃度」とか、何かに対しての量の多さ（！）
みたいに使いますね。

そういう風にこの場合捉えてあげると、ちょっときついかもね。

単純に、「要素の数」：集合の中身の数　位で結構。

同じ　水槽の中で　何個「要素」が入っているか？　と考えれば

濃度と同じね。この意味では。

　＃代数学や、集合論　では　この辺注意しないといけないけど。

全斜の意味は理解できたと思います。　単斜でも、全単斜でもないね。

ちょっと絵を描いておきます。イメージの参考にして。

（１）は、正直に言うと、何か良く分からない＞＜

代数学？　あまり聞いたことがないような気がする。とすると幾何のほうか、

集合のほうかな？

ｍ（＿　＿）ｍ　　がんばるしかないよ！

回答No.5

Caper

● ANo.3 を投稿した直後に、選出公理 ( もしくは選択公理 ) を私はふと思い出しました。それを用いて、改めて証明を記述させてください。
　 kazuhide000 さん を混乱させてしまったかもしれませんね。私はそそっかしいです。ごめんなさい。

　 選出公理については、後述させてください。

● 背理法によって、証明します。

　「 集合X から 集合Y への全射が存在し 」なおかつ「 集合X の要素の数が、集合Y の要素の数よりも少ない 」と仮定します。

　 存在する全射を f と表わすことにし、集合Y の任意の要素を y と表わすことにします。このとき、各 y に対して、y = f(x) を満たす 集合X の 要素x が少なくとも 1つ 存在します。換言すれば、f による各 y の 逆像 ( もしくは原像 ) f^(-1)(y) が空集合ではないということになります。

　 集合Y の任意の 要素y の f による 逆像 f^(-1)(y) が空集合ではないわけですから、選出公理により、集合X の要素を |Y|個 選出することができます。選出される |Y|個 の要素はすべて異なる必要があります。
　 なぜならば、選出される要素の中に同一のものが含まれるとすれば、その同一の要素の f による像が複数存在することになり、f が写像であるという仮定に反してしまうからです。

　 ところが、|Y|個 の要素がすべて異なれば、集合X には少なくとも |Y|個 の要素が存在することになり、集合X の要素の数が |Y|個 よりも少ないという仮定に反します。
　 よって、上記の仮定からは矛盾が導かれます。

● 選出公理をどんな形で kazuhide000 さん は教わりましたでしょうか。松坂和夫 著「 集合・位相入門 」( 岩波書店 1983年 第 17 刷 ) では、選出公理を下記のとおりに記述しています ( 添付画像をごらんください )。

● これまでの記述がまちがっていましたら、本当にごめんなさい。

お礼

何度も丁寧な解説ありがとうございます。
納得することができました！

選出公理ですが、残念ながら教わっておらず手元の教科書にも記載がありませんでした。。

回答No.4

Caper

私の ANo.3 は保留にしておいてください。次の記述に、不備があるためです。後日、改めて投稿します。ごめんなさい。

　もし「 集合Y の 要素y が異なれば、それに対して存在する 集合X の 要素x (= f(y)) も異なる 」ということであれば、集合X の要素の数は、集合Y の要素の数以上になってしまい、仮定に反します。

回答No.3

Caper

● [2] だけ。[1] は、わかれば後日に。

● ANo.1 と ANo.2 において、B-juggler さん と Tacosan さん がご指摘になりましたような解釈でよろしいでしょうか。

　「『 集合X から 集合Y への全射が存在する 』ならば『 集合X の要素の数は、集合Y の要素の数以上である 』ことを証明せよ 」

　 上記のとおりの解釈で、よろしいでしょうか。

● ( 上記のとおりの解釈で記述を進めます ) 問題の答案を示す前に、全射の定義について、私に記述させてください。

　 kazuhide000 さん は、全射の定義をどのように習いましたでしょうか。
　 上記の問題において、存在する全射が f であったとします。このとき、f は次のとおりに表わせると習いませんでしたでしょうか。

　 f(X) = Y

　 これはご存じのとおり、「 f(X) ⊆ Y であり、なおかつ Y ⊆ f(X) である 」ということを示します。ところが、写像の定義より、f(X) ⊆ Y は明らかです。よって、目をつけるべきは Y ⊆ f(X) です。

　 Y ⊆ f(X) を、日本語で表現すれば、次のとおりになりますでしょうか。「 集合Y の任意の 要素y は 集合f(X) に含まれる ( 集合f(X) の要素でもある ) 」
　 そして、この 要素y が 集合f(X) に含まれる ( 集合f(X) の要素でもある ) ということを言い換えれば、次のとおりになりますでしょうか。「 要素y に対して、y = f(x) を満たす 集合X の要素 x が少なくとも 1つ 存在する 」

　 これらの日本語の表現を意識なさいました上で、私が示す下記の答案をごらんください。

● 背理法によって、証明します。

　「 集合X から 集合Y への全射が存在し 」なおかつ「 集合X の要素の数が、集合Y の要素の数よりも少ない 」と仮定します。

　 存在する全射を f と表わすことにし、集合Y の任意の要素を y と表わすことにします。このとき、各 y に対して、y = f(x) を満たす 集合X の 要素x が少なくとも 1つ 存在します。
　 もし「 集合Y の 要素y が異なれば、それに対して存在する 集合X の 要素x (= f(y)) も異なる 」ということであれば、集合X の要素の数は、集合Y の要素の数以上になってしまい、仮定に反します。ですから、次の条件を満たす 集合Y の 2つ の異なる要素 y_1 と y_2 が少なくとも 1組 存在する必要があります。

　 y_1 = f(x_0) と y_2 = f(x_0) のどちらも満たすような 集合X の要素 x_0 が存在する。

　 ところが、上記の条件を満たした場合、f は写像ではなくなってしまいます。
　 よって、上記の仮定から、矛盾が導かれます。

● 上記の記述がまちがっていましたら、ひらにごめんなさい。

回答No.2

Tacosan

(1) 「和集合が積集合になった場合」というのは, 何がどうなったということですか?
(2) Y はどこ?

お礼

どちらの質問も分かりかねます。。
頭が悪く申し訳ございません。

ヒントを下さりありがとうございました。

回答No.1

B-juggler

せっかく大学に行っているのだから、学校で聞こう。

そのための授業料だよ。ここで丸投げするものじゃない。

こういうことは恥ずかしいことだと思ってね。

幾何ではないと思うんだけども、まぁそれも勉強です。

（１）は類題だと思わないほうがいいかもね。

（２）は　「全射」の意味だけだよ。
　｜Ｘ｜　と　｜Ｙ｜　は何のことなのかな？

　（要素の数だと思うけどね）
　こっちは、「代数学の写像」だと思うけどなぁ。と　ヒントだけ。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

お恥ずかしい事は重々承知しております。
ヒントありがとうございました。

>｜Ｘ｜　と　｜Ｙ｜　は何のことなのかな？
それぞれの濃度の事だと認識しておりますが。。