ベストアンサー 現代制御についての固有値 2003/09/11 22:20 現代制御において,システムは状態方程式と出力方程式でA,B,C,(D)行列を用いて記述されますが,システムの応答が振動的になる時は必ず,A行列の固有値に少なくとも一つ以上,虚数部が表れるのでしょうか? みんなの回答 (1) 専門家の回答 質問者が選んだベストアンサー ベストアンサー keyguy ベストアンサー率28% (135/469) 2003/09/12 15:53 回答No.1 それだけでなく固有値の実部が0に近いという条件もいるでしょう。 どれだけ近いかはシステムの他の定数にも依存するので定性的な表現しかできませんが。 質問者 お礼 2003/09/24 14:30 回答ありがとうございました. 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 カテゴリ 学問・教育その他(学問・教育) 関連するQ&A 現代制御を用いた制御系設計 現代制御理論を用いて制御系設計を行うとき,状態方程式と出力方程式において,可制御や可観測が満足されない時でも,制御系設計は行えるのでしょうか?もし,行えないなら,古典制御以外でどのような制御理論を使えばいいでしょうか? 固有値 固有ベクトル 固有値を求める場合の固有方程式について質問させて頂きます。 固有値と固有ベクトルの定義は、 n×n行列Aに対して、λ∈C,x∈C^nが Ax=λx |x≠0 を満たすとき、λをAの固有値、xをλに対するAの固有ベクトルという。 固有値を求める際の固有方程式ですが、 私の手元にある参考書では、 |λI-A|=0とあります。 web等で調べると|A-λI|=0という表記もありました。 Iは単位行列を表します。 |λI-A|=0と|A-λI|=0はどちらも正しいのでしょうか? また、なぜ等しくなるのか教えて頂けないでしょうか? 以上、ご回答よろしくお願い致します。 次に与える行列Aの特性方程式,固有値,固有ベクトルを求めよ。また,それ 次に与える行列Aの特性方程式,固有値,固有ベクトルを求めよ。また,それを用いて,P^(-1)AP=D(対角行列)となる行列P,Dを求めよ。(1)A=([3,1],[2,2]),(2)A=([4,2][3,1]),(3)=([3,-5],[2,-3]),(4)A=([0,0,1],[0,1,0],[1,0,0]) 上記の問題教えてください。一応,特性方程式と,固有値,固有ベクトルを求めることがやってみたのですが,特に(4)番が自信がないので,この3つについては,答え合わせをしたいので,答えを教えてもらえたらと思います。 また,P,Dを求めるのはやり方が分からないので詳細を教えていただきたいのです。よろしくお願いします。 天文学のお話。日本ではどのように考えられていた? OKWAVE コラム 固有値 この問題がまったく何を言っているのかわかりません。。固有値は|A-λE│=0の固有値方程式を解いて、固有値λを求めればいいんですよね?参考書などを見ればちょっとした計算式と言葉で書いてあるだけで詳しい解きかたが書いていません。永年行列式をサラスの公式なり余因子展開なりで展開すると、λに対する三次方程式が得られ、それを解けば固有値がわかると教えていただいたんですがそれも何を言っているのかよくわからなくて。どうかできるだけ計算過程も詳しく教えてください。お願いします。 行列Aの固有値と対角化を以下の手順で考えていこう。 0 1 0 ( 1 0 0 ) 0 0 0 (1)行列Aの固有値を求めなさい。数量の検算には、固有値の和が行列Aのトレースに等しいことに注意せよ。 (2)固有値に属する固有ベクトルを求めなさい。 (3)行列Aの固有ベクトルを列ベクトルとして任意の順に並べて作った行列Pを示しなさい。 固有値 この問題がまったく何を言っているのかわかりません。。固有値は|A-λE│=0の固有値方程式を解いて、固有値λを求めればいいんですよね?参考書などを見れば言葉で書いてあるだけで詳しい解きかたが書いていません。どうかできるだけ計算過程も詳しく教えてください。できれば(1)と(2)だけでも結構です。お願いします。 行列Aの固有値と対角化を以下の手順で考えていこう。 0 1 0 ( 1 0 0 ) 0 0 0 (1)行列Aの固有値を求めなさい。数量の検算には、固有値の和が行列Aのトレースに等しいことに注意せよ。 (2)固有値に属する固有ベクトルを求めなさい。 (3)行列Aの固有ベクトルを列ベクトルとして任意の順に並べて作った行列Pを示しなさい。 (4)行列Aはこの行列Pによって対角化可能であるかどうかどうか調べなさい。 (5)行列Pの転置行列tPを示し、行列Pとの積tPPを計算しなさい。 (6)行列Aが行列Pによって対角化可能であるならば、対角化されることを示しなさい。 行列の固有値問題について 行列A={2,a,b 0,1,c 0,0,1}が対角化可能であるためのa,b,cに関する条件についてお尋ねします。 この行列の固有方程式の二重解である固有値1に対する固有空間の次元が2である場合に対角化可能であるということは理解できました。 しかし、これを満たすには行列E-Aのランクが3-2=1であれば良いらしいのですが、なぜこのような考え方になるのかがあまり理解できません。 この点についてのご教授をどうかよろしくお願い致します。 行列 固有値 D=[0 1 0; 0 0 1; -c -b -a](;で行を区切っています。) という行列がある。 φ(z)=0を満たすzに対して3x1のxについての方程式Dx=zxを解け という問題なのですが、固有値は求まりましたが、 このxを求めようとするととても汚い答えになってしまいます。 解法をご教授ください。 現代制御の多入力多出力 現代制御の特徴のひとつに、多入力多出力を扱えるというものがありますが、この多入力多出力システムは、実際にどのような制御対象がそれに当てはまるのでしょうか? いまいち、多入力多出力システムがイメージできません。 どなたか分かり易く教えて頂ければ、大変ありがたく思います。 行列 固有値 D=[0 1 0; 0 0 1; -c -b -a](;で行を区切っています。) という行列がある。 φ(s)=det(sE-D)で定義され、 φ(z)=0を満たすzに対してx=[x1x2 x3]のxについての方程式Dx=zxを解け という問題なのですが、固有値は求まりましたが、 このxを求めようとすると答えが汚くなってしまいます。 どなたかご教授お願いいたします。 行列の固有値と固有ベクトルの証明が分かりません (1)2×2行列A=(a b c d)の固有値は x^2-(a+d)x+(ad-bc)=0 の解で与えられることを証明せよ。 (2)(1)の行列Aが固有値α、β(α≠β)を持つとき α、βに対する固有ベクトルをそれぞれ2×1行列(p.q) (r.s)として 2×2行列P=(p.r.q.s) を作ると 2×2行列P-1AP=(α.0.β.0) なることを証明せよ。 という問題が分かりません。 調べてみたのですがよく分かりませんでした。 教えてください。 固有ベクトルの求め方 わかりずらい行列の表現ですいません。 左から第一行第一列 第一行第二列 , で区切って第二行と書いていきます。 行列A[3 4,1 2]の固有値と固有ベクトルを求めるのですが、 行列式|3-λ 4, 2 1-λ|=(3-λ) (1-λ)-8=λ^2-4λ-5=(λ-5)(λ+1)より、λ=5,-1となるのは、理解できたのですが、λ=-1のとき連立方程式 (3-(-1))x+4y=0, 2x+(1-(-1))y=0 整理して4x+4y=0,2x+2y=0 ここからxとyの比を求めるとき、c は0以外の任意の定数として、x=cとおくとy=-c,y=cとおくとx=-cとなり固有ベクトルは、c(1,-1)かc(-1,1)のどちらになるでしょうか、xとyの比の求め方から訂正お願いします。 制御工学での状態方程式の利用方法について よろしくお願いいたします. ただ今,http://www.mech.tohoku-gakuin.ac.jp/rde/contents/course/controlII/statefeedback.htmlで 状態方程式の勉強をしているのですが, 制御中の入力uの挙動を観測したい場合は,出力方程式yの行列Cをゼロ行列にして,行列Dに観測したい要素に値を入れればよろしいのでしょうか? よろしくお願いいたします. 日本史の転換点?:赤穂浪士、池田屋事件、禁門の変に見る武士の忠義と正義 OKWAVE コラム 固有値と安定性 Aを2n×2n実(ハミルトン)行列、xをx∈R^(2n)としたとき dx/dt=Ax (*) の解は、Aのすべての固有値が純虚数であるとき、安定(t>0で||x(t)||<∞) である。なぜなら、(*)の任意の解はt^k*exp(tλ)v (kは正整数、λは固有値、vは定ベクトル)の線形結合で書き表されるが、固有値が純虚数の時には、k=0となるからである。 と今読んでいる本に書かれているのですが、何故、すべての固有値が純虚数ならばk=0といえるのか理解できません。基礎的な質問かと思われますが、どなたかよろしくお願いします。 固有値問題 固有値の証明問題をやっています。 7割くらいは解けたのですが、以下の問題がわかりません。 (1)λ1,λ2,...,λnがAの特性方程式の解であれば、 |A|=λ1λ2...λnであることを示せ (2)Aをn次の複素正方行列、A^*をAの共役転置行列とするとき、 A^*とAの積の固有値が正、または0であることを示せ (3)3次の直交行列は1またはー1を固有値に持つことを示せ 以上のような3つの問題があります。 どの問題も、イマイチ証明の筋道が見えてきません。 ヒントでもかまいませんので、どなたかよろしくお願いします。 固有値の問題がわかりません 行列A= (-15 6 8) (-30 13 14) (-21 7 12) の固有値を求めたいのですが、3次方程式の因数分解が複雑で困っております。 よろしければ解答をよろしくお願いします。 2自由度系の固有角振動数 独立な変数がθ1とθ2である2自由度系の微小振動の運動方程式を線形近似して、θ''をθの時間の二階微分、a、b、c、dを正の定数として θ''1 = -a θ1 + bθ2 θ''2 = -c θ2 + dθ1 という式が導かれたとき、この系の固有角振動数ω1とω2は、右辺の第二項を0として求めてもいいのでしょうか? ダメな場合はどうすればいいのでしょうか? 対称行列 固有値 次の2問をお願いします。 (1)Aを2次の対称行列とする。Aの二つの固有値が一致するならばA=λIであることを示せ。 (2)Aを2次の対称行列とする。またλをAの固有値、vベクトルをλに対するAの固有ベクトルとするとき、wベクトル=R(π/2)vベクトルはAのもう一方の固有値に対する固有ベクトルであることを示せ。 A= a b vベクトル=v1 c d v2 と成分表示する。 見づらいと思いますが、よろしくお願いします。 Mathematicaで3×3の固有値を求めたら… 以下の行列Rの固有値を求めたい。{}は行を表わしていて、一つもの{}は1行、2個目の{}は2行目といった感じです。 R[a_, b_, c_, d_, l_, m_, n_] := {{-a - l, b, 0}, {a, -b - c - m, d}, {0, c, -d - n}} Eigenvalues[R[a, b, c, d, l, m, n]] として、固有値を求めようとしたのですが、解に「#1」とわけのわからない値が出てきました。ヘルプで調べたのですが、さっぱりです。 固有値の一つが Root[bdl+adm+dlm+ac#1+ad#1+bd#1+bl#1+…省略…&,1] となりました。 良く意味がわかりません。 固有値が正であることを示す A= (a b c) (b 1 0) (c 0 1) に対してa>-1で|A|>0ならば、Aの固有値も正であることを示せ。 という問題がわかりません。Aは3×3行列を表しています。 どのように固有値を出すのかもよくわかりません・・ご回答よろしくお願いします 固有ベクトルを求める問題 行列A ( 2 0 0 ) ( 1 3 1 ) ( 0 0 2 ) の固有値と固有ベクトルを求める問題です。 ↓のように解いていきました。 Ax(ベクトルx)=λx(ベクトルx)より |A-λE|=|2-λ 0 0 | |1 3-λ 1 | |0 0 2-λ| =|2-λ 0 0 | |0 3-λ 1 | |0 0 2-λ| =(2-λ)^2(3-λ) =0 ∴λ=2,3 ここまでは、解けたのですが、 λ=2の時の、固有ベクトルを求めようとして、困りました。 λ=2の時 (A-λE)x(ベクトルx) ( 0 0 0 )(x) (0) =( 1 1 1 )(y)=(0) ( 0 0 0 )(z) (0) x+y+z=0 のようになり、方程式が1本しかつくれません。 x:y:zはどうやったらわかりますか? 固有ベクトルを求たいのですが、わかりません。 ちなみに答えは ( 1) ( 0) c1( 0)+ c2( 1) (-1) (-1) でした。 何でこうなるのか教えてください。 注目のQ&A 「You」や「I」が入った曲といえば? Part2 結婚について考えていない大学生の彼氏について 関東の方に聞きたいです 大阪万博について 駅の清涼飲料水自販機 不倫の慰謝料の請求について 新型コロナウイルスがもたらした功績について教えて 旧姓を使う理由。 回復メディアの保存方法 好きな人を諦める方法 小諸市(長野県)在住でスキーやスノボをする方の用具 カテゴリ 学問・教育 人文・社会科学 語学 自然科学 数学・算数 応用科学(農工医) 学校 受験・進学 留学 その他(学問・教育) カテゴリ一覧を見る OKWAVE コラム 突然のトラブル?プリンター・メール・LINE編 携帯料金を賢く見直す!格安SIMと端末選びのポイントは? 友達って必要?友情って何だろう 大震災時の現実とは?私たちができる備え 「結婚相談所は恥ずかしい」は時代遅れ!負け組の誤解と出会いの掴み方 あなたにピッタリな商品が見つかる! OKWAVE セレクト コスメ化粧品 化粧水・クレンジングなど 健康食品・サプリ コンブチャなど バス用品 入浴剤・アミノ酸シャンプーなど スマホアプリ マッチングアプリなど ヘアケア 白髪染めヘアカラーなど インターネット回線 プロバイダ、光回線など
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