制御 状態空間モデルについて

質問

現在、制御について勉強しています。
可観測標準形と可到達標準形というものが出てきました。
どちらも　
x(t+1)=Ax(t)+Bu(t)
y(t)=Cx(t)+Du(t)
という形で表すことができるようです。
（x:状態変数 y:出力ベクトル u:入力ベクトル）

ここで、可観測標準形の状態空間モデルをA,B,C,D
可到達標準形の状態空間モデルをA',B',C',D'
と表すと
　A'=A^T B'=C^T C'=B^T D'=D　・・・(1)
という関係が成り立っていることがわかりました。
（A^T は　Aの転置という意味です）
そして、このような関係を持つ２つのシステムは
互いに「双対」と呼ぶと書いてありました。

ここで疑問に思ったのが、可観測標準形と可到達標準形は
(1)のような性質を持っており伝達関数行列が等しくなりますが、
(1)が成り立つ2つのシステムというのは、
すべて伝達関数行列が等しくなるのでしょうか？
伝達関数行列を求める式
H(z)=C(zI-A)^(-1)B+D
にA',B',C',D'を代入して上記のH(z)と同じ式を導こうと思ったんですが
どうやったらいいのかよくわからなくなりました。
やり方がわかる方がいたら、どなたか教えてください。
また、他の方法で証明できるのであれば、教えてください。

回答No.2

foobar · ベストアンサー

「系
x(t+1)=Ax(t)+Bu(t)
y(t)=Cx(t)+Du(t)
が可制御(可観測)なら
x'(t+1)=A'x'(t)+B'u'(t)
y'(t)=C'x'(t)+D'u'(t)
（ただし、A'=A^T, B'=C^T, C'=B^T, D'=D^T)
で表される系は可観測(可制御)になる」
ですよね。
(特に標準型である必要は無かったような。
標準型だとAが対角行列になるので、A'=A^T=Aになるような)
H'=C'(zI-A')^(-1)B'+D'
で全体転置して式変形すると
H'^T=H から H'=H^T が導出できるかと。
(yとuの次数が一致していなくても計算できます(H,H'が正方行列にならないだけ））

補足

回答ありがとうございます。
多入力多出力のときは、D'=D^T となるんですか？
読んだ教科書では1入力1出力しか説明されてなくて
Dが行列のときはどうなるのかもよくわかってませんでした。

回答No.3

foobar

先ず最初に
可観測、可制御(共にxに関する部分)を議論するときには
Dは関係ありません(uからyに直接出力される項なので）。

D'=D^Tの件。
こうしないといろいろ不都合が出ます。
(yとuのサイズが違うときに、出力方程式 y'=C'x'+D'u'が構成できない、
H^T=H'にならない）

回答No.1

guuman

(P・Q)^T=Q^T・P^T
なる関係を使って
H'(z)=C'・(z・I-A')・B'+D'
を転置すれば猿でも分かる
H'(z)は行列ではないから転置しても同じ

補足

解答ありがとうございます。
ということは、1入力1出力の場合のみ
「双対なシステムが同じ伝達関数を持つ」
と考えて良いのでしょうか？
入出力が複数で、かつ入出力の数が違うと
そもそも行列の形が合わないので計算ができなくなり
入出力が複数で数が同じ場合、行列計算はできるが
同じ伝達関数行列とはならない気がします。