Lie 群論において、SU(2) の -E に対応する Lie 代数元

質問

Lie 群の教科書には、SU(n) などのコンパクトな連結群の任意の元 g は
　　g = exp(su) for ∃su∈リー代数
と表される、と書いてあります。

でも数学ソフトで、SU(2) での -E:単位元のマイナス元 に対応するリー代数を計算させ
てやると、下のようになります。

logm(-~[[1,0],[0,1]])
===============================
[[ 0.+3.14159265j 0.+0.j ]
[ 0.+0.j 0.+3.14159265j]]
---- ClTensor ----

しかし、この計算結果は Hermite でなく Trace も 0 でありせん。リー代数になって
いません。同時に -E∈SU(2) です。最初のリー代数に書いてあるようになっていません。

他に expm(..) の結果が -E になるリー代数の元があるとも思えません。

何か単純な思い違いをしているのだと思っています。でも何処で間違っているのか解りま
せん。間違っていそうな個所を指摘してもらえますでしょうか。

回答No.1

rinkun · ベストアンサー

jは虚数単位でしょうか。
そうすると
[[ 0.+3.14159265j 0.+0.j ]
[ 0.+0.j 0.-3.14159265j]]
が妥当かと思います。
対数は複素領域では多値関数になりますので単純に主値を取ってしまうと拙いのだと思います。
# 参考 http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/lee03.htm

お礼

＞jは虚数単位でしょうか。

そうです。

＞そうすると
＞[[ 0.+3.14159265j 0.+0.j ]
＞[ 0.+0.j 0.-3.14159265j]]
＞が妥当かと思います。
＞対数は複素領域では多値関数になりますので単純に主値を取ってしまうと拙いのだと思います。

ありがとうございました。仰るとおりでした。

mt=~[[ 0.+3.14159265j, 0.+0.j], [ 0.+0.j,0.-3.14159265j]];expm(mt)
===============================
[[-1. +3.58979302e-09j 0. +0.00000000e+00j]
[ 0. +0.00000000e+00j -1. -3.58979302e-09j]]
---- ClTensor ----

mt=~[[ 0.+3.14159265j, 0.+0.j], [ 0.+0.j,0.-3.14159265j]];mt.trace()
===============================
0j

mt=~[[ 0.+3.14159265j, 0.+0.j], [ 0.+0.j,0.-3.14159265j]];mt + mt.d
===============================
[[ 0.+0.j 0.+0.j]
[ 0.+0.j 0.+0.j]]
---- ClTensor ----

---------------------
暗算だけで、対角成分がが純虚数である行列はエルミート交代行列ではないと思い込んでいました。助かりました。本当にありがとうございました。