SU(2)の合成

質問

多くの人が知りたいと思っているに違いない。でも誰も質問しない。３次元空間の単位ベクトルnの回りの角θの回転はexp(iθniλi)で表わされます。ここでλiはSU(2)のリー代数の元で、
　[λi,λj] = iεijkλk
を満たします。このような回転の合成は別の方向の回りのある角度の回転になっているはずです。
　exp(iθniλi)・exp(iθ'n'iλi) = exp(iθ"n"iλi)
ここで、θ"とn"はBaker-Campbell-Housedorffの公式で計算できるのではないかと思いますが、θ"とn"をθ, n, θ', n'で表わすとどうなるのでしょうか。(iが虚数単位と添字の両方に使われています。また繰り返されている添字については1から3まで和をとるものとします)

回答No.2

motsuan · ベストアンサー

すいません。
自身なしにしようと思ったのですが自身ありにしてしまいました。

結局
SU(2)の接平面で表しているので
積分（＝無限個の代数計算）が必要になると思うのですが、参照URLでは
回転演算をsu(2)の有限個の代数演算で表しているというのがみそだと思います。

具体的にはi, j, k を４元数の単位元として
v=(x,y,z)に対して、wを変数として加えて射影空間を考えます。[]_qを
[v, w] = x*i + y*j + z*k + w
と定義します。このとき、
λ=(λ_x,λ_y,λ_z)を回転の中心軸の単位ベクトル、θを回転量とすると
射影空間p=[v, w]の元を回転させるときの演算は
q=[λ*sin(θ/2), cos(θ/2)]なる数で、

qpq^{-1}

となるといっているので、その合成は

q'q

で表されます。

[λ'*sin(θ'/2), cos(θ'/2)][λ*sin(θ/2), cos(θ/2)]

を計算して（ＵＲＬの公式を使って）

cos(θ"/2) = cos(θ/2)cos(θ/2)-(λ'・λ)*sin(θ'/2)*sin(θ/2)
λ" = (λ'^λ*sin(θ'/2)sin(θ/2) + λ*sin(θ/2)cos(θ'/2) + λ'*sin(θ'/2)cos(θ/2))/sin(θ"/2)

が形式解として得られます。ここで、(λ'・λ)は３次元の内積、λ'^λは３次元の外積です。
この定義のλ"は単位ベクトルにならないような気がしますが、
参照URLではノルムは保存されるといっているので、ちゃんとなるのかもしれません。
i, j, kを行列にして計算してもこの形にはなりませんでした．．．計算間違い？
もしかするとベクトルλ"を複素数に拡張する必要があるとかそういうことなのかもしれません。

なかなか上手くいかないものです。

お礼

御回答ありがとうございます。お礼が遅くなって申し訳ございませんでした。
ご回答の中で、
cos(θ"/2) = cos(θ/2)cos(θ/2)-(λ'・λ)*sin(θ'/2)*sin(θ/2)
は
cos(θ"/2) = cos(θ/2)cos(θ'/2)-(λ'・λ)*sin(θ'/2)*sin(θ/2)
のミスプリでしょう。
sin(θ"/2)λ" = λ'×λ sin(θ'/2)sin(θ/2) + λ sin(θ/2)cos(θ'/2) + λ' sin(θ'/2)cos(θ/2)
のとき、右辺の二乗を計算してみると(θ/2=φ, θ'/2=φとします)
　(λ'×λ sinφ'sinφ + λ sinφcosφ' + λ' sinφ'cosφ)^２
=((1-(λ',λ)^2)(sinφ'sinφ)^2 + (sinφcosφ')^2 + (sinφ'cosφ)^2 + 2(λ',λ)(sinφcosφ'sinφ'cosφ)
=1 - { (cosφcosφ')^2 - 2(λ',λ)sinφsinφ'cosφcosφ' + (sinφsinφ'(λ',λ))^2 }
=1 - { (cosφcosφ') - (λ',λ)sinφsinφ' }^2
=sin^2(θ"/2)
なのでλ"は単位ベクトルであることが分かります。この問題は
　(1)誰もが理解できる問題でありながら解くのは難しい。
　(2)有用であるにもかかわらず通常のコースで教えられることはなく、書いてある本も少ない。
という点で特記すべきものがあると思います。BCHの公式を使った解でないのが少し残念ですが、それを差し引いても大変勉強になりました。

回答No.5

motsuan

下の回答のλはnの間違いでした。
（質問をよく読んでいませんでした失礼しました）

お礼

御回答ありがとうございます。ご指摘の通り私の記法ではλがSU(2)の基底、nが実数のパラメータに相当します。なお、ハウスドルフの綴りをHousdorffに訂正させて頂きます。

回答No.4

motsuan

すいません。ぼけてます。URLによれば
q"=q'qのようです。

回答No.3

motsuan

と回答して、間違いがわかりました。
qpq^{-1}なので
q"=q'q
ではないですね。

取り急ぎ修正です。

回答No.1

motsuan

ハミルトンの４元数で表現して計算するとよいのではないでしょうか？というか回転のsu(2)による表現そのもの？
http://www.cs.wisc.edu/graphics/Courses/cs-838-2002/Papers/quatut.pdf
の５ページ目一番下ですよね。

お礼

御回答ありがとうございます。結局、質問のn"とθ"をn, θ, n', θ'で表わすとどうなるのでしょうか。私はBCHの公式を重視していますので、できればその公式を使って示したいのですが。