交代群とKleinの4元群について

質問

Kleinの4元群V4は交代群A4の正規部分群になりますが，これを示すには地道に計算するしかないのでしょうか？

Kleinの4元群は
V4={e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)}
です．

そうすると，かなりの数の計算をしないとなりませんが，もう少しうまいやり方はあるのでしょうか？

回答No.1

ramayana · ベストアンサー

１　A4の位数はたったの12ですから、地道に計算しても大した手間暇でありません。地道な計算も、存外、馬鹿にしたものでもありません。この作業をすることにより、問題の構造を体感できて、一般論への手掛かりが得られるからです。

２　一般論からのアプローチ

（巡回置換型）

置換を互いに素な巡回置換の積で表すとき、その長さの組み合わせを「巡回置換型」と言います。例えば、S4の中で、(13)(24)の巡回置換型は{2,2}、(134)の巡回置換型は{31}、単位元eの巡回置換型は、{1111}です。

容易に分かるように、

[1]　「Snの元aとbがSnで共役であるためには、aとbの巡回置換型が一致することが必要十分条件」

です。したがって、

[2]　「Anの元aとbがAnで共役であるためには、aとbの巡回置換型が一致することが必要条件」

です。

（Kleinの４元群）

V4は、巡回置換型が{1111}の元1個と、巡回置換型が{22}の元3個から成っていて、これで{1111}または{22}の巡回置換型を持つ元がすべて尽くされます。よって、上の[2]により、V4の元の共役元は、すべて、V4の中にあることになります。